高二数学空间角—二面角的求法.doc

二面角 　 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1 2．二面角的平面角的定义及作法． （二）能力训练点 1 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力． 3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法． （三）德育渗透点 让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1 2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题． 3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内． 三、课时安排 1 四、教与学过程设计 （一）二面角 师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本P39中图1—43），等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P．39—40，回答下列问题． 师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？ 生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1117），表示为∠AOB． 师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义． 生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1119）． 师：那么如何表示二面角呢？ 生：棱为ABAB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β． 师：二面角的画法通常有哪几种？ 生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1120）． 第二种是立式法，也称为直立式． （二）平面角 师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义． 定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考： 问题1 生：是合理的． 如图1121，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关． 问题2 生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内． 师：平面角是直角的二面角叫直二面角． 在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°（图见P．39中图1—43）． 下面请同学们完成例题和练习． （三）练习 例　 1—122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？ 解：已知CD=100DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度．在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH． ∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC， ∴GH⊥BC． 因此，∠DGHDGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得： ≈43.3（米）． 答：沿直道前进10043.3米． 注：在解题中要特别注意书写规范．如： ∵DGBC，GH⊥BC， ∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角． 练习：（P41—42练习1、2、3、4．） 1．拿一张正三角形的纸片ABC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，指出这个二面角的面、棱、平面角． 2．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角