高二数学综合法与分析法人教实验版（B）知识精讲.doc

高二数学综合法与分析法人教实验版（B）知识精讲 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 综合法与分析法 二. 学习目标 掌握综合法和分析法的基本思路，能用综合法和分析法证明有关问题；了解数学归纳法，会用此方法证明问题。 三. 考点分析 1、综合法与分析法 （1）综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。 它的基本思路是“由因导果”，即从“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。 （2）分析法 我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法。 它的基本思路是“执果索因”，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法，当从题设不易入手的题目，而从结论上较易打开思路时，多用分析法证明。 2、两种方法的利弊特点 分析法从“未知”看“需知”，渐渐靠拢“已知”，逐步的推理，实际上是寻找它的充分条件. 它叙述冗长，但常常根底渐近，有希望成功. 综合法从“已知”看“可知”，渐渐推向“未知”，逐步的推理，实际上是寻找它的必要条件. 它形式简洁，条理清晰，逻辑结构严谨，但往往枝节丛生，难以一下子达到目的. 注：我们在实际解题时，应把两种方法结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程，这就达到了扬长避短、相互协调、相得益彰的良好目的. 3、综合法的思维特点是：由已知推出结论. 用综合法证明不等式中常用的重要不等式有： ； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。a、b、c是不全等的正数，求证： a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）6abc. 【分析】 采用综合法证明，利用性质a2+b2≥2ab. 证明：∵b2+c2≥2bc，a＞0， ∴a（b2+c2）2abc. ① 同理b（c2+a2）2abc ② c（a2+b2）2abc ③ ∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号 ∴①+②+③，得a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）6abc. 例2. 已知，求证：。 证法一（综合法）： 证法二（分析法）：，为了证明， 只需证明 ， 即， 即， . 成立， 成立 说明：分析法和综合法是对立统一的两个方面，分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推. 例3. 已知a，b，c∈R+，求证： （1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）16abc； 分析： 用综合法证明，注意构造定理所需条件. 证明： （1）ab+a+b+1=（a+1）（b+1） ab+ac+bc+c2=（a+c）（b+c） ∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）16abc 因此，当a，b，c∈R+，有 （ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）16abc. 说明： 用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘. 例4. 已知：a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b＋ab2. 求差比较 证法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2） =（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b） =（a＋b）（a2-2ab＋b2） =（a＋b）（a-b）2. 由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0， 进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0， 所以a3＋b3＞a2b-ab2. 分析法： 证法2： 欲证a3＋b3＞a2b＋ab2， 即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b）， 因为a＋b＞0， 故只需证a2-ab＋b2＞ab， 即证a2-2ab＋b2＞0， 即证（a-b）2＞0， 因为a≠b， 所以（a-b）2＞0成立， 所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立. 综合法： 证法3： 由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，则a2-ab＋b2＞ab 又a＋b＞0，则（a＋b）·（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b）， 即a3＋b3＞a2b＋ab2. 注：熟练地应用学过的证明方法，对同一命题用三种方法进行了证明，开阔了思路. 应学会针对具体题目，灵活地选取方法. 例5. 用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N* 证明：①当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除 ②假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1