高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质.doc

高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质 【基础知识精讲】 抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下： 图形 标准 方程 y2=2px(p＞0) y2=-2px(p＞0) x2=2py(p＞0) x2=-2py(p＞0) 焦点 坐标 (,0) (- ,0) (0, ) (0，-) 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 (0，0) (0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1 e=1 e=1 焦半径 ｜PF｜=x0+ ｜PF｜=-x0 ｜PF｜=+y0 ｜PF｜=-y0 参数p的几何 意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔. 本节学习要求： 1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程. 2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决. 3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法. 通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力. 【重点难点解析】 1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线. 应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用. 例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点(x0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程. 分析 设方程为y2=2px(p＞0)或y2=-2px(p＞0) 则 x0+=17或-x0=17 即 x0=17-或x0=-17 将(17-，-8)代入y2=2px 解得 p=2或p=32 将(-17，-8)代入y2=-2px 解得 p=2或p=32 ∴所求抛物线方程为y2=±4x或y2=±64x. 例2 求抛物线y2=4x中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解. 设AB是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点M(x,y) 由 得：y=1 代入y2=4x 得x= ∴轨迹方程为y=1(x＞) 例3 设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点.已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线. 分析 设A(4pt21,4pt1)，B(4pt22,4pt2)，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB 则 kOA=,kOB= 由OA⊥OB，得 kOA·kOB==-1t1t2=-1 ① ∵点A在AB上，得直线AB的方程为 y-4pt1= (x-4pt21) ② 由OM⊥AB，得直线OM方程为 y=-(t1+t2)x ③ 设点M(x,y),则x,y满足②③两式 将②化为：y(t1+t2)=x+4pt1t2=x-4p ④ 由③×④得：x2+y2-4px=0 ∵A、B是原点以外的两点 ∴x≠0 ∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉原点). 【难题巧解点拨】 例1 已知抛物线y2=2px上两点A、B，BC⊥x轴交抛物线于C，AC交x轴于E，BA延长交x轴于D，求证：O为DE中点. 分析 只需证出D、E两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt21,2pt1)，B(2pt22,2pt2)则 C(2pt22,-2pt2) AC：y-2pt1=(x-2pt21) 令y=0,得xD=2pt1t2 BA：y-2pt1= (x-2pt21) 令y=0,得xE=-2pt1t2 ∴xD+xE=0 即O为DE中点. 例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M的轨迹C的方程； (Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x≤2)上，那么当a取何值时，过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点? 分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有 =2 即 +(y-1)2=1(y≠0) ∴抛物线顶点M的轨迹C的方程是 +(y-1)2=1(y≠0) (Ⅱ)过P点的直线可设为l:y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C上，则 消去y，得x2+4k2(x-a)2=4 即(1+4k2)x2-8k2