高二数学选修4-5 不等式的证明方法之一：比较法.doc

高二数学选修4-5 不等式的证明方法之一：比较法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 二、典型例题： 例1、设，求证：。 例2、若实数，求证： 证明：采用差值比较法： = = = = ∴ ∴ 讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例3、已知求证 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设 ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。 解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，， 从而， 其中都是正数，且。于是，即。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 例5、设求证；对任意实数，恒有 （1） 证明 考虑（1）式两边的差。 ＝ ＝ （2） 即（1）成立。 三、小结： 四、练习： 五、作业： 1．比较下面各题中两个代数式值的大小： （1）与；（2）与. 2．已知 求证：（1） （2） 3．若，求证 4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小． 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号) ∴a4-b44a3(a-b)。 5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小． 6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小． 7．如果x0，比较与的大小． 8．已知a≠0，比较与的大小． 9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小． 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 阅读材料：琴生不等式 例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。 琴生在1905年给出了一个定义： 设函数的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数，都有 （1） 则称为[a,b]上的凸函数。 若把（1）式的不等号反向，则称这样的为[a,b]上的凹函数。 凸函数的几何意义是：过曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。 其推广形式是：若函数的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数，都有 （2） 当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点，有 其中，则称是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是[a,b]上的凹函数。 其推广形式 ，设，是[a,b]上的凸函数，则对任意有， 当且仅当时等号成立。 若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 用心 爱心 专心 115号编辑