高二数学选修4-5 利用平均不等式求最大（小）值.doc

高二数学选修4-5 利用平均不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、重要的结论： 已知x，y都是正数，则： (1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； (2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值。 二、典型例题： 例1、当取什么值时，函数有最小值？最小值是多少？ 例2、求函数（）的最小值。 例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？ 分析： 例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是，那么电灯距离桌面的高度等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：，这里为常数，是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角） 分析： 例5、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： ∴ 解二：当即时 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数） 正确的解法是： 当且仅当即时 例6、若，求的最值。 解： ∵ ∴ 从而 即。 例7、设且，求的最大值 解：∵ ∴ 又 ∴ 即 例8、已知且，求的最小值 解： 当且仅当即时 三、小结： 四、练习： 1．求下列函数的最值： 1( 、 (min=6) 2(、 () 2．1(、时求的最小值，的最小值 2(、设，求的最大值(5) 3(、若, 求的最大值 4(、若且，求的最小值 3．若，求证：的最小值为3 4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料） 五、作业： 1、将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒， 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为 则其容积为 当且仅当即时取“=” 即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为 2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)? 解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为 (万元) 年平均费用y= 当且仅当即n＝10时取等号。 答：这种汽车使用10年报废最合算。 3、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(2001年全国文科高考题) 解：设画面的宽为x cm，则画面的高为cm，设纸张面积为S S= 当且仅当x＝，即x= 55 cm，此时高 答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。 评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意： 设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数； 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； 在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。 用心 爱心 专心 115号编辑