高二数学逻辑联结词与量词苏教版知识精讲.doc

高二数学逻辑联结词与量词苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 逻辑联结词与量词 二. 重点、难点： 重点：理解简单的逻辑联结词或、且、非的含义，理解量词用含有一个量词的命题的否定． 难点：含有一个量词的命题的否定． （一）本单元知识结构： （二）概念与规律总结 （1）命题的结构 命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题． “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题． 构成复合命题的形式：p或q（p∨q）p且q（p∧q）p（q）2）命题的四种形式与相互关系 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┑p则┑q； 逆否命题：若┑q则┑p． 原命题与逆否命题互为逆否，同真假； 逆命题与否命题互为逆否，同真假． （3）命题的条件与结论间的属性 “pq”的含义有三条：p推出q；p是q 的充分条件；q是p的必要条件． （4）“或”、“且”、“非”的真值判断 “非p”形式复合命题的真假与p的真假相反； “p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假； “p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真． 真值表 p q p或q p且q 非p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 规律 一真即真，全假则假 全真才真，一假即假 与p真假相反 （5）全称量词与存在量词 全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，　每一个等； 存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，　有的，有些等； 全称命题 p:(x(M， p（x 否定为( p：((M， (x） 存在性命题p：(( M， p（x 否定为( p：((M， ( x） 常见命题的否定词 正面 词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有 一个 至多有 一个 任意 两个 反面 词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 一个也 没有 至少有 两个 某两个 （6）反证法是间接证法的一种 假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾． 因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”． 【典型例题】 例1. 概念辨析 （1）分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题， p：四边都相等的四边形是正方形，q：四个角都相等的四边形是正方形 解：“p或q”：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形 “p且q”：四边都相等的且四个角都相等的四边形是正方形 “非p”：四边不都相等的四边形不是正方形． 方法：分清命题的条件与结论，然后重新组合． （2）下列命题是全称命题的是 ，是存在性命题的是 ． ①线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ②负数的平方是正数 ③有些三角形不是等腰三角形 ④有些菱形是正方形 解：是全称命题的是①②，是存在性命题的是③④． 判断方法就是判断它们有无全称量词与存在量词． （3）写出下列命题的否定 ①已知集合A(B，如果对于任意的元素x∈A，那么x∈B； ②已知集合A(B，存在至少一个元素x∈B，使得x∈A； 解：①否定为：(， B ②否定为：((B， A （4）若A是B的充分不必要条件，则A是B的…………………（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：∵“AB”“BA”∴选B． 方法总结：遇到有否定词的问题可以转化为它的等价命题，去掉否定词． 例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋（a－1）x＋a＝0， x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根．试求实数a的取值范围． 分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根．先求出反面情况时a的范围，则所得范围的补集就是正面情况的答案． 解：设三个方程均无实根，则有： ，，即－a－1． 所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根． 方法总结： “至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单．本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集．两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻． 例3. 已知数列{an}的前n项Sn＝pn＋q（p≠0，p≠1），求数列{an}是等比数列的充要条件． 解：a1＝S1＝p＋q 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1） ∵p≠0，p≠1，∴＝p 若{