高二数学（理）导数、积分、综合应用人教实验版（A）知识精讲.doc

高二数学（理）导数、积分、综合应用人教实验版（A）知识精讲 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数、积分、综合应用 二. 重点、难点： 1. 导数与积分可以理解为逆运算 2. 导数与积分的运算公式 3. 导数与函数性质的关系 4. 积分与面积之间的关系 5. 利用导数积分解决实际问题 【典型例题】 [例1] 求下列函数的单调区间 （1） （2） 解析：（1）函数的定义域为R ，令，则 即，解得或 ∴ 函数的单调递增区间为和 令，则 解得 ∴ 函数的单调递减区间为 （2）函数的定义域为 令，则 ∴ 或 ∴ 函数的单调递增区间为和 令，则 ∴ ，且 ∴ 函数的单调递减区间为和 [例2] 如图，设有圆C和定点O，当从开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列选项中的（ ） [例3] 已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围。 解析：法一： ∵ 函数在上是增函数 ∴ 在上恒成立 ∴ 在上恒成立 即在上恒成立 令， ∴ 故要使在区间上恒成立，只需 即：所求t的取值范围为： 法二：依题意得 ∵ 函数在区间上是增函数 ∴ 对恒成立 又∵ 的图像是开口向下的抛物线 ∴ 当且仅当，且时 即时，在区间上满足 使在上是增函数 故t的取值范围是 [例4] 已知函数 （1）写出函数的递减区间； （2）讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值； 解析： 令，得， x变化时，的符号变化情况及的增减性如下表所示： （1）由表可得函数的递减区间为 （2）由表可得，当时，函数有极大值；当x=3时，函数有极小值。 [例5] 函数，在时有极值10，则的值为（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 以上都不正确 解析： ∵ 是函数极值点，且在处的极值为10 ∴ ① ② 由①②解得或 当时， 当时， 当时， ∴ 当时函数不存在极值 当时符合题意，故应选D。 [例6] 设曲线在点处的切线与x轴、y轴所围成的三角形面积为。 （1）求切线的方程； （2）求的最大值。 解析：（1）因为 所以切线的斜率为 故切线的方程为，即 （2）令得 又令得 ∵ ∴ ∴ 从而 ∵ 当时， 当时，，所以的最大值为 [例7] 求曲线与所围成的区域的面积。 解析：将区间[0，1]等分为n个小区间，，，……，，……，。每个小区间的长度为 过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作矩形，于是得曲线之下小矩形面积依次为 所有这些小矩形的面积和为 由此得到 [例8] 求下列定积分 ① ② 解析：① ② [例9] 如图，求直线与抛物线所围成的图形面积 解析：由方程组，可得，故所求图形面积为 [例10] 利用定积分定义求 解析：显见它是函数在[0，1]上的一个积分和，由定积分的定义有： [例11] 计算定积分。 分析：被积函数可先化去绝对值符号，于是需利用定积分的可加性，对积分区间分段计算。 解析： ∴ [例12] 求直线与抛物线所围成平面图形的面积。 解析：围成平面区域为图中阴影部分，由易得 以y为积分变量，则积分表达式应为，积分区间为 ∴ 平面区域的面积 [例13] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产吨的成本为R=50000+200x元。问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入－成本）。 解析：每月生产x吨时的利润为 由，解得（舍去） 因在内只有一个点使，故它就是最大值点，且最大值为：（元） 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元。 [例14] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解析：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则 ∵ BD=40，AC=50－x ∴ 又设总的水管费用为y元，依题意有： ，令，解得 在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50－x=20（km） ∴ 供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。 [例15] 一辆汽车的速度——时间曲线如图，求该汽车在这1min内行驶的路程。 解析：由速