十三、第三节定积分定义、换元积分法辩析.ppt

练习 定积分的换元积分法 定理 （1） 函数 在区间 上连续； （2） 函数 在区间 是单值 函数，且有连续导数； （3） 当 在区间 上变化时， 的值在 上变化，且 则有定积分的换元积分公式 例8 设 解 例9 设 当 时， 当 时， 例10 设 当 时， 当 时， 练习 设 当 时， 当 时， 例10 设 在区间 上连续,试证明 因为 当 为偶函数时 当 为奇函数时 证 对 作变量代换 设 若 为偶函数即 若 为奇函数即 练习题 １． ２． ３． ４． ５． ６． 7． 8． １． ２． ３． ６． ５． ４． 7． ８． 答案 例 设 当 时 时 当 例 证明 证 设 例 一.曲边梯形的面积 二.定积分的定义 四．定积分的性质 第三节 定积分 三．定积分的几何意义 六．定积分的计算 五．积分上限的函数 一．曲边梯形的面积 曲边梯形: 若图形的三条边是直线段，其中 有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线， 这样的图形称为曲边梯形。左下图所示. 例：计算由 所围成的曲边梯形的面积。 及 轴 如图 求和 　把　个小矩形面积相加，就得到曲 边梯形面积A的近似值 计算曲边梯形面积的具体步骤： (1)　分割 　　 把区间　　　分成　个小区间［　　　　］，　　　 每个小区间长度记为 任取分点 取近似 在每个小区间 [ ] 上任取 一点做高 ,则得小曲边梯形面积 的近似值 (3) 求和 　把　个小矩形面积相加，就得到曲 边梯形面积A的近似值 定义 设函数 　 在　　　上连续，用 个 分点 把 分成 个小区间 ，其长度 在各小区间上任取一点 作乘积 并求和 记 当 时，若和式的极限存在 ， 二、定积分的定义 则称此极限值为函数 在区间 上的 定积分，记为 其中称 为被积函数, 为被积表达式， 为积分区间， 分别称为积分下限和上限. 为积分变量， 定积分定义的说明： 一般表示为 (1)　定积分表示一个数，它只取决于被积函数 与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母 无关，例如： （2 ）定积分的定义中要求积分限 我们补充如下规定： 当 时 当 时 上的定积分存在（也称可积）。 (3) 定积分的存在性：当 在 上连续 或只有有限个第一类间断点时, 在 三、定积分的几何意义 1、当 时，则 此时， 表示由曲线 及 轴所围成的 曲边梯形的面积A 既 2、当 时， 此时， 表示由曲线 及 轴所围成的 曲边梯形面积A的负值。 即 3、当 在 区间上有正有负， 表示由 及 轴所围成的平面图形面积位于 轴上方 的面积减去位于 轴下方的面积。如图所示 即 底边在 轴上各个曲边梯形面积的代数和。 四、定积分的性质 1 函数代数和的定积分等于定积分的代数和 即 2 被积函数的常数因子可提到积分号外面 即 （ 为常数） 注：对于 ，则 三点的任何其他相对位置， 上述性质仍成立。比如 仍有 3 若 则 4 在区间 上若 则有 5 （积分中值定理）如果函数　　在区间　　　 上连续，则在　　　上至少存在一点