历年各杯赛奥数详解辩析.doc

1、最值问题 【最小值问题】 　　例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。 　　 　　（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题） 　　讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。 　　由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。 　　例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？ 　　（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题） 　　 　　讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。 　　我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。 　　 　　所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。 　　故，O点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】 　　例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？ 　　 　　（全国第二届“华杯赛”初赛试题） 　　讲析：三个图的面积分别是： 　　 　　三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。 　　故图（3）的面积最大。 　　例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。 　　（台北市数学竞赛试题） 　　讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。 　　现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。 　　所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。 　　因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。 2、最值规律 　　【积最大的规律】 　　（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是 　　如果a1+a2+…+an=b（b为一常数）， 　　那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。 　　例如，a1+a2=10， 　　…………→…………； 　　1+9=10→1×9=9； 　　2+8=10→2×8=16； 　　3+7=10→3×7=21； 　　4+6=10→4×6=24； 　　4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75； 　　5+5=10→5×5=25； 　　5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75； 　　…………→…………； 　　9+1=10→9×1=9； 　　…………→………… 　　由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。 　　三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。 　　由“积最大规律”，可以推出以下的结论： 　　结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。 　　例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。 　　例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？ 　　解 设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得 　　（a+b）×2=24 　　即 a+b=12 　　由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为 　　6×6=36（平方厘米）。 　　（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。） 　　结论2