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巧用“数学思想方法”解决数学问题 　　“数学思想方法”是指从某些具体数学内容和对数学的认识过程中提炼、概括出来的对数学知识的本质认识，它提示了数学发展的普遍规律，对数学发展起着指引方向的重要作用。数学思想方法是数学的“灵魂”和“精髓”，在数学中居于核心地位，具有深远的教育意义。因此，数学教学要深入到数学的“灵魂深处”，让学生学好数学、用好数学，即学习数学不仅要学习数学知识内容，而且要学习数学的精神和思想方法。 　　《义务教育数学课程标准（2011年版）》进一步要求，在小学数学教学中应结合教学相关内容，向学生渗透分类、转化、数形结合、归纳、集合、方程等基本数学思想方法，促进学生对数学知识的理解和数学能力的发展，为今后进一步学习和工作打下良好的数学基础。笔者结合自己在解决问题教学中的实践与探索，对以下四种数学思想方法的运用进行简要阐述。 　　一、巧用“反证法”，培养逆向思维 　　反证法是间接证明的一种基本方法。当需要证明一个判断为假时，先假设这个判断为真，经过正确的推理，最后得出矛盾，说明假设错误，从而证明原判断应为假，这样的证明方法叫做反证法。反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，是指两个互相矛盾的判断不可能同真，其中必有一假。 　　如，一个三位数减去一个两位数，差一定是两位数（见人教版小学数学三年级指导丛书上册第63页）。刚从二年级升入三年级的学生缺乏理性认识，逻辑思维与逆向思维存在一定的局限性，所以往往误以为这一数学命题言之有理。学生对这一命题判断得真与假，关键在于对“一定”含义的理解。一个三位数减去一个两位数，差可以是两位数，但“一定”就肯定了差是两位数的结论是唯一的。课堂上可以巧用“反证法”来解决问题。 　　师：差可以是一位数或是三位数吗？请同学们举例验证、交流。 　　生1：差可以是一位数，如：100-99=1。 　　生2：还可以是三位数，如：999-99=900。 　　众所皆知，否定一个猜想往往比肯定一个猜想简单。学生经历逆向思辨，能举出一个否定命题结论的例证就能判断命题为假。不但理清了学生解决问题的逻辑，而且培养了学生的逆向思维能力。 　　二、巧用“变与不变思想方法”，发展多向思维 　　抓住“不变的量”，是解决问题的一种有效方法，也是一种数学思想。教师应以教材为本，认真研究，一边抓“不变”现象中“变”的规律，另一边抓“变”现象中“不变”的本质，让学生更好地学习数学，掌握数学本领，提高解决数学问题的能力。 　　如，小马虎在计算一道加法题时，把十位上的“5”看成“3”，把个位上的“6”看成“9”，结果是784。正确答案应该是多少。（见人教版小学数学三年级指导丛书上册第66页）。 　　小学生凭借已有的知识经验形成直观的解题思维是：已知一个加数和另一个加数，求和是多少用加法。题目中在没有直接给出一个因数和另一个因数的情况下，为学生设置了“把十位上的5看成3，把个位上的6看成9，和是784”这样一个思维的“拦路虎”。如何求出一个加数和另一个加数是解决问题的关键。巧用“变与不变”的思想方法，对发展学生多向思维，有效解决问题能起到意想不到的成效。 　　师：小马虎把十位上的“5”看成“3”，把个位上的“6”看成“9”，他看成的这个数是多少？ 　　生1：39。 　　师：39和另一个因数相加的结果是784，同学们能得出另一个 因数吗？算一算。 　　生2：另一个因数是784-39=745。 　　师：根据题意可以得出一个加法算式：39+745=784。 　　请仔细思考：在这个算式中，一个因数、另一个因数、和，这三个数谁在变，谁不变。 　　生3：39在变，745不变。 　　生4：39在变，和也在变。 　　师：如果小马虎不马虎的话，一个因数39原来是多少？ 　　生：56。 　　师：那么另一个因数745不变，可以得出和的正确结果吗？请列式并计算出结果。 　　生5：56+745=801。 　　在解决问题中引导学生巧用“变与不变”的思想方法，训练学生多向、多边思维，甚至是全方位思维，使数学问题解决水到渠成。 　　三、巧用“数形结合思想方法”，促进形象思维 　　数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化，使繁难的数学问题简捷化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，借助形象思维就能够解决，有利于促进学生抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题方案。 　　如，教学分数乘以分数。以■×■为例，可以做如下教学设计。 　　师：■表示什么？请同学们到黑板上以长方形为实物标画出■。 　　生1：（上台板演图示）■表示把长方形平均分成5份，其中的1等份表示■。 　　师：■的■在图上怎么表示，在纸上画一画，说一说■×■的含义。 　　生2：把长方形的■平均分成2等份，其中1等份就是■的■，用乘法算式表示