巧用定义域解题.docVIP

巧用定义域解题 　　定义域是函数三要素的重要组成部分，在解题时若能充分注意到函数的 　　定义域，就能使题目中隐含的条件明朗化，为解题的顺利进行扫除障碍，铺平道路.本文例析了定义域在解题中的应用，希望对同学们有所帮助.? 　　 　　一、求值域? 　　 　　例1 求f (x)=x－ 　　 　　1-2x的值域.? 　　 　　解：由1-2x≥0?x≤ 　　1 2，所以定义域为（-∞， 　　 　　1 2］，又当x∈（-∞， 1 2］时， 　　1-2x 　　为减函数，所以f (x)=x－ 　　 　　1-2x为增函数，f (x)≤f ( 　　1 2)= 　　1 2,故所求值域为（-∞，1 2］.? 　　 　　例2求y=1-x?2+x的值域.? 　　 　　解：函数的定义域为［-1，1］，设x= 　　 　　?cos?α, α∈［0, ?π?］,则y= ?cos?α+?sin? 　　 　　α=2?sin?(α+?π? 4), 　　 　　因为α+?π? 4 ∈［?π? 4,5?π? 4］，所以y∈［-1,2］.? 　　 　　二、求值? 　　 　　例3求 　　 　　y=C??38-x???3x?+C??3x???21+x?的函数值.? 　　 　　解：由 21+x≥3x≥38-x≥0?9.5≤x≤10.5，又x∈Z,所以x=10，函数的定义域为{10}，y=C??28???30?+C??30???31?= 　　C??2???30?+C?1??31?=466.? 　　 　　 　　三、比较大小? 　　 　　 例4比较两实数2x-1-x?2 　　 　　与?lgsin?y+x?y的大小.? 　　 　　 解：因为 　　 　　2x-1-x?2与?lgsin?y+x?y 　　均为实数,所以 　　 　　 　　2x-1-x?2≥0? 　　?lgsin?y≥0 　　?(x-1)?2≤0? 　　?sin?y≥1 　　? 　　 　　x=1? 　　y=2k?π?+?π? 2(k∈Z) 　　? 　　 当x=1,y=2k?π?+?π? 2时， 　　2x-1-x?2=0,?lgsin?y+x?y=1,所以 　　 　　2x-1-x?2?lgsin?y+x?y.? 　　 　　四、求参数的取值范围? 　　 　　 例5已知 　　 　　?log???a-1?(2x-1)??log????a-1?(x-1)，则a的取值范围是.? 　　 　　 解：由 　　 　　2x-10? 　　x-10 　　?x1，因为2x-1x-1，所以a-11?a2.即所求a的取值范围是 　　(2,+∞).? 　　 　　例6f (x)=?log??a(ax?2-2x)是定义在［2，4］上的增函数，求a的取值范围.? 　　 　　解：由题设x=2时f (x)有意义，所以a 　　#8226;2?2-2?20?a1,当a1时，0 　　 　　1 a1,u(x)=ax?2-2x=a(x- 　　1 a)?2-1 a在［2，4］上是增函数，又u(2)0,所以a1时，f (x)=?log??a(ax?2-2x)在［2，4］上是增函数，故a1.? 　　 　　评注：按常规应分a1和01，从而回避了讨论，简化了解题程序.? 　　 　　例7（2012年全国高中数学联赛湖北省高一预赛试题）.设 　　 　　f (x)=?log??a(x-2a)+?log??a(x-3a),其中a0且a≠1.若区间［a+3,a+4］ 　　 　　上f (x)≤1恒成立，求a的取值范围.? 　　 　　解： 　　由x-2a0,x-3a0?x3a.所以f (x)=?log??a［(x-2a)(x-3a)］(x3a), 　　若在区间［a+3,a+4］上f (x)≤1恒成立，则a+33a?a3 2.? 　　 　　设g(x)=(x-2a)(x-3a)(x3a),则g(x)在［a+3,a+4］上单调递增，所以 　　在区间［a+3,a+4］上f (x)≤1恒成立? 　　 　　 　　 　　1　　f (a+4)≤1 　　 (1)或 　　 　　0　　f (a+3)≤1 　　 　　(2)? 　　 　　 由（1） 　　 　　f (a+4)≤1?g(a+4)=(4-a)(4-2a)≤a? 　　 　　13-41 4 　　≤a≤13+41 4,? 　　又1　　 所以a∈?.? 　　 　　 由（2） 　　 　　f (a+3)≤1?g(a+3)=(3-a)(3-2a)≥a?a≤ 　　 　　5-7 2或a≥ 　　 　　5+7 2, 　　又0