平面向量数量积的第二定义及其应用.docVIP

平面向量数量积的第二定义及其应用 　　一、数量积的第二定义及推论 　　1.平面向量数量积的第二定义 　　我们知道现行普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修4）上，对平面向量数量积（内积）是这样定义的：对于非零向量 　　a，b，θ为向量 　　a，b 　　的夹角，则a?b=|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积等于零.另外我们在初中学习多项式乘法时，有如下结论：ab=14[（a+b）2-（a-b）2]，通过类比和证明，我们可以自然地发现 　　a?b与a+b，a-b之间也有如下类似的结果： 　　a?b= 　　14[（a+b）2- 　　（a-b）2] 　　图1 　　，我们把这个结论称之为数量积的第二定义.利用这个定义研究其几何意义非常形象直观，如图1，在平行四边形ABCD中， 　　AB?AD= 　　14（|AC|-|BD|2）. 　　2.数量积第二定义的推论 　　利用第二定义的几何意义，容易得出 　　如下结论：如图2，在△ABC中， 若AM为BC边上的 　　中线，则 　　AB?AC 　　=14 　　[（2AM）2-BC2] 　　=AM2-BC24. 　　二、第二定义与推论的应用 　　例1 平面向量a，b，e满足 　　|e 　　|=1， 　　a?e=1， 　　b?e=2，|a-b| 　　=2，则a?b的最小值为 . 　　图2 　　解：由数量积第二定义得： 　　a?b=14 　　[（a+b）2-（a-b）2]， 　　又 　　3=|（a+b）?e|≤|a+b|故 　　a?b≥54. 　　例2 若P为棱长为2的正方体表面上的一动点，AB是正方体内切球的任意一条直径， 　　则PA?PB的取值范围是 . 　　解：设AB的中点为O，则由第二定义的推论，得： 　　PA?PB=PO2-14 　　AB2， 　　由于 　　1≤PO2≤3，故 PA?PB∈[0，2]. 　　例3 在△ABC中，点M是BC的中点.若∠A=120°， 　　AB?AC=-12，则 　　|AM|的最小值为 . 　　解：设△ABC的内角 　　A、B、C所对的边分别为a，b，c由第一和第二定义的推论，得： 　　AB?AC= 　　AM2-14BC2=bc?cosA=- 　　12，故bc=1，AM2= 　　14（b2+c2+1）-12 　　≥14，所以|AM|的最小值为 　　12. 　　图3 　　例4 如图3，在半径为1的扇形AOB中， 　　∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则 　　OP?BP的最小值是 . 　　解：设OB的中点为M，则由第二定义 　　的推论，得： 　　OP?BP=PM2-14 　　OB2=PM2-14， 　　由于PM的最小值是点M到AB的垂线段长度， 　　故PM的最小值为34，所以 　　OP?BP的最小值为 　　-116. 　　三、巩固练习 　　1.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则（PA+PB）?PC的最小值为（ ） 　　（A） -14 （B） -13 （C） 　　-12 （D） -1 　　2.已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=120°，MN是圆O的一条直径，点 　　C在圆内，且满足 　　OC=λOA+（1-λ）OB （0λ1），则 　　CM?CN的取值范围是（ ） 　　（A） [-12，1） （B） [-1，1） 　　（C） [-34，0） 　　（D） [-1，0） 　　3.设△ABC，P0是边AB上一定点，满足 　　P0B=14AB，且对于边 　　AB上任一点P，恒有 　　PB?PC≥P0B 　　?P0C.则（ ） 　　（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90° 　　（C） AB=AC（D） AC=BC 　　4.在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则 　　PB?PC的最大值为. 　　参考答案 　　1.（C） 2.（C） 3.（D） 4.10+237 5