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数学模型在高等数学教学中的引入与应用 　　【摘要】高等数学是理工科高等院校的公共必修基础课，在整个本科教学体系中占有极为重要的地位。本文通过总结教学实践中的经验，探讨了如何在高等数学教学中引入数学模型，丰富教学内容和教学方法，提高教学质量。 　　【关键词】数学模型数学思想高等数学 　　【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2014）08－0062－02 　　 　　高等数学是理工科高等院校的公共必修基础课。通过该课程的学习，学生可以掌握数学的基本理论和思想方法，提高自身的逻辑思维能力和辩证思维能力，为后续的数学类课程和其他理工专业课程的学习奠定必要的数学基础。 　　高等数学的核心内容是微积分，课程内容繁多，并且知识结构严密稳定，这使得该课程需要较多的课时。但我校跟其他大部分院校一样，在近年来的教学改革中，对公共基础课做了较大的调整，将高等数学的课时缩短将近1/3。为了完成理论内容的教学，不少教师无奈地采取说教式的教学方法。由于这种的教学方法缺少启发性，造成学生既无法感受到数学学习的意义，进而逐渐失去学习的兴趣，又因为得不到充分的思维锻炼，无法灵活运用所学的知识。这使得高等数学无法实现其真正的价值。如何在有限的课时内，让学生真正地学到数学知识，得到思维锻炼，是一个值得深思的问题。 　　笔者通过理论学习和总结自身的教学实践经验，发现通过在教学中引入数学模型，是解决上述的问题的一个行之有效的方法。高等数学中的许多概念，如极限、导数、积分、级数、微分方程等，都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。这些数学模型都具有深刻的背景，来自不同的学科领域。如果能在教学中很好地利用数学模型，学生就能较好地理解相关的概念、定义和定理，能够真正接触到数学在所学的相关专业中的应用。这将进一步调动学生应用相关的数学知识分析、解决实际问题的积极性，激起学生把所学的数学知识和数学方法运用到实际问题之中的渴望，产生学习参与感，从而激发学生学习数学的兴趣。学生学习兴趣提高了，教学互动就自然进展顺利，进而提高教学效果。那么，应该如何在高等数学课程中引入和应用数学模型呢？笔者在此提出以下三点想法。 　　一 充分利用经典模型，强调数学概念的背景和意义 　　现有的高等数学教材中，都包含了大量的经典模型，其中大部分都可以作为教学所需的素材。只要充分利用素材，就可以得到很好的教学效果。这其中的关键在于，在利用这些模型引入数学概念时，不能只是把它简单地看成是一个自然的引入过程，必须在学习的过程中重点强调模型的背景和意义。这样，学生才能对相关概念有一个更深刻、具体、形象的理解。以导数的概念为例，它是可以通过两个经典的例子引入：瞬时速度和切线斜率，如果只是简单地通过讲述这两个例子，指出导数的本质就是“变化率”，那么学生可能更多的只是知道导数的本质是“变化率”，但变化率又是什么呢？最终的结果就是学生得到了一个抽象概念的抽象理解而已。但是，如果能集中时间，利用瞬时速度引入导数的概念，并且强调导数就是“速度”，就可以让学生得到导数的一个具体形象的理解。这样的理解，对后续课程的学习也大有助益。在讲述费马引理时，只需要提醒学生，想象一辆往前走的车，在往回走之前，位移和速度应该怎么变化，学生就可以得到这样的结论：车要在位移最大的地方掉头，此时速度为零，也就是在该点处函数值取极值，而导数为零。同样地，在利用导数判断函数的单调性时，提醒学生导数大于零意味着速度是正的，位移就会增加，此时函数是单调递增的，反正亦然。这样教学既可以节省课时，又可以加深学生的理解。 　　二 针对学科特点，适当引入新模型 　　在高等数学的教材中，关于微积分的应用，也有大量的实际例子，这些例子都可以看成是数学模型。但是这些模型大部分都来自数学本身或物理，对其他专业的学生而言，既乏味又对专业学习没有任何帮助。开普勒定理就是其中的典型，虽然可以向学生展现微积分在实际应用中的威力，但是也有学生感叹：很厉害的想法啊，可惜在几百年前就用过了，到现在还有其他用处吗？因此，非常有必要针对不同的学科，适当引入新模型。以微分方程的应用为例，可以对学习经管的学生引入描述GDP增长的微分方程模型，对学习动物养殖的学生引入畜牧业的微分方程模型。笔者在教学中发现，通过这样的调整，既丰富了教室内容和教学手段，还极大地提高了学生的学习兴趣，教学过程轻松了，教学效果也更明显。 　　三 强调建模思想，加强思维锻炼 　　高等数学的学习，最重要的是对学生进行思维锻炼。在教学中引入数学模型，不能停留在引入本身，还要引导学生参与建模的过程。学生通过合理假设将实际问题转化为数学问题，在得到结论后，再利用实际问题的数据对所得结论进行检验。根据检验结果对假设进行调整，进一步优化模型。