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数形结合在解题中的辨析应用 　　所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来. 　　众所周知数形结合是中学数学的重要思想方法.许多数学问题，如若借助于数形结合，能够得以较快解决.但是种种原因是，如图形欠精确，刻意几何化，思路不简约，考虑不全面等，在利用数形结合解决问题的过程中，也容易出现图形的蒙蔽和误导，从而导致解题的失误.对此结合实例做一些分类概括，以供学习参考.? 　　 　　一、真假难辨? 　　 　　在一些数学问题中，存在着相应位置关系，在解决问题时，往往要借助图形的位置关系，囿于我们视觉的局限性，有时难免形成一种视觉假象，从而导致一种以假乱真的错误.? 　　 　　 　　例1 若a=?ln?2 2,b= 　　?ln?3 3,c=?ln?5 5则（）? 　　?(A)? abc ?(B)? cb　　?(C)? c　　 　　 　　 　　误解：由题意，若令f (x)=?ln?x，则k=f (x) x，表示直线y=f (x)上任一点与原点连线的斜率，由上图直观可得： 　　 　　k??OC?k??OB?k??OA???ln?5 5?ln?3 3?ln?2 2，即选 ?(B)?.? 　　 　　剖析：上述误解，就本质上来看，与上例相似，也是由于图象的位置失真导致一种直观上的错觉.事实上，若令：g(x)=?ln?x x，则有g′(x)=1-?ln?x x?2. 　　当00，g(x)为增函数. 　　当xe时，g′(x)0，g(x)为减函数；? 　　 　　即：（1）0x?1x?2x?3?e???ln?x?1 x?1?ln?x?2 x??ln?x?3 x?3. 　　（2）?e??ln?x?2 x?2 　　?ln?x?3 x?3.? 　　 　　由此可知：只有k??OC?k??OB?成立，而 　　k??OB?k??OA?则是一种错觉.? 　　 　　本题的一种正确解法是（作差比较法）： 　　 　　a-b=1 6(?ln?8-?ln?9)0?ab.同理c　　 　　二、弄巧成拙? 　　 　　所谓弄巧成拙，指的是面对一个数学问题，不是根据问题的实际情况，恰当地选择解题方法，而是一味地寻找问题的几何背景，依赖于图形的几何性质来解决问题，使得问题的解法迂回繁冗，出现了一种弄巧成拙的尴尬局面.? 　　 　　例2 对于所有满足1≤x≤2的实数，不等式|ax+2|≥?|x-4|?恒成立，求实数a的取值范围.? 　　 　　 　　解：(数形结合) 　　 　　如图2，作出y=|x-4|的图象，又y=?|ax+2|?的图象恒过定点B(0,2). 　　（1）当a=0时，明显不合题意； 　　（2）当a时，若过点B的直线的斜率大于或等于1，即a≥1，适合条件. 　　（3）当a0时，情况稍复杂，我们把y=|ax+2|的图象与x轴的交点叫“折点”，a0，折点在原点的右边，由题意折点M(m,0)必在原点与点A(1,0)之间，如图2，设∠BMO=α,∠CMA=β,因为α=β,OA=1， 　　则 MA=1-m,△BMO∽△CMA，得 　　 　　2 m= 　　 　　3 1-m，得m=2 5?tan?α=5,k??BM?=-5. 　　于是，当0≤OM≤2 5时符合题意，即a≤-5，综上所述,a的取值范围是(-∞,-5］∪［1,+∞).? 　　 　　上述解法借助问题的几何意义，思路巧妙，不易把握，且需分类讨论，而且还涉及到几何与三角知识，过程很是繁琐.实际上，解决本题，不必刻意绕弯，只要顺着题意，把问题作等价转换即可得到一种简便解法.? 　　 　　 另解：因为1≤x≤2,所以|ax+2|≥|x-4|?ax+2≤x-4或ax+2≥4-x 　　 即：(a-1)x+6≤0或(a+1)x-2≥0. 　　问题等价于：对于1≤x≤2, (a-1)x+6≤0或(a+1)x-2≥0恒成立. 　　由于1≤x≤2,所以y=(a-1)x+6与y=(a+1)x-2图象为线段.从而：(a-1)×1+6≤0,? 　　(a-1)×2+6≤0 　　 　　 或(a+1)×1-2≥0,? 　　(a+1)×1-2≥0 　　恒成立. 　　 　　解得a≤-5 或a≥1，故a的取值范围是(-∞,-5］∪［1,+∞) .? 　　 　　三、以次充好? 　　 　　从不同的视角看待一个数学问题，有时可以赋予不同的图形意义.在此种情形下，对不同的图形意义应甄别良莠，选择其中较为简练的图形意义.否则，就可能出现不分青红皂白，以次充好的情况. 　　? 　　例3 已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，求a的取值