4二自由度系统振动2013.ppt

例1：两自由度弹簧阻尼质量系统 取 静平衡位置为坐标原点，水平向右为两个坐标的正向，根据牛顿第二定律得到: 写为矩阵形式： 系统动能、势能的矩阵表达形式 系统的动能为 系统能量耗散函数的矩阵表达形式 通过对系统的动能、势能和能量耗散三个函数求偏导数，可以分别求出质量、刚度和阻尼三个矩阵的各个元素： 由于能量为标量，对于任意的 , 运动微分方程的耦合问题 由于 的存在，使得两个质量 的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为非对角矩阵，微分方程存在耦合。 耦合的分类 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在 动力耦合或惯性耦合。 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在 静力耦合或弹性耦合。 如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在 阻尼耦合。 非耦合 如果三个矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分方程没有任何耦合，变为两个独立的单自由度方程，各个未知量可以单独求解。 2.2.1 固有频率和主振型 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合或动力耦合。 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合或静力耦合。 如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合。 由上面实例说明：方程是否存在耦合以及存在什么类型的耦合取决于所取的描述系统的广义坐标，并不是系统本身的性质。 两个独立的主振动的固有频率为： 2.6阻尼减振器——阻尼对强迫振动的影响 本节我们继续研究在上节中分析的动力减振器，不过考虑有阻尼的情况，同时利用这个例子来说明阻尼对两自由度系统强迫振动的影响。 2.6 阻尼减振器——阻尼对强迫振动的影响 讨论： 由上式可见，振幅 是四个参数 的函数。下图表示 ， 的减振器系统，在不同的阻尼 ，主质量的振幅比 随频率比 的变化的幅频响应曲线。 2.6 阻尼减振器——阻尼对强迫振动的影响 （1）当 时 此即为上节介绍的动力减振器的情况。其幅频响应曲线如图中虚线所示， 在 和 时发生共振；而在 时， 。 2.6 阻尼减振器——阻尼对强迫振动的影响 （2）当 时，两质量 和 之间无相对运动，系统就变为具有一个质量 和 弹簧刚度的单自由度系统。令 ，取极限得： 其幅频响应曲线与无阻尼单自由度强迫振动的相同，如图中虚线所示。令上式的分母等于零，可求得共振时的频率比： 2.6 阻尼减振器——阻尼对强迫振动的影响 （3）从图中可以看到，所有的响应曲线都通过S和T两点。这说明 的最高点都不会低于S、T两点中的较高者。为使减振器有较好的减振效果，就应设法降低S、T两点的高度，尽量使它们等高，并使它们成为曲线上的最高点。研究结果表明，为使 的最大值正好在S和T处，就要适当选择 。 2.6 阻尼减振器——阻尼对强迫振动的影响 （4）从图中可以看到阻尼对共振附近的振幅有显著的减小，而在激振频率远小于固有频率或远大于固有频率的范围内，阻尼的影响是很小的。 动力减振器适合激振频率比较固定或变化不大的情况，而阻尼减振器适合激振频率在一个比较宽的范围内变化的情况(工程上并不要求主质量的振幅为零，而是小于某值即可)。 第二章 总结 1. 两自由度系统的振动微分方程： 建立振动微分方法： 牛顿运动定律 拉格朗日方程 2. 无阻尼自由振动 (1)振动微分方程 （2）固有频率和主振型 设振动微分方程的特解为： 代入微分方程 得特征方程或频率方程： 特征根： 即系统的固有频率 对应于固有频率的振幅比，即为主振型： 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动。 第一阶主振动的响应： 第二阶主振动的响应： 一般地，两自由度系统的自由振动是振系的两个主振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。 （3）系统对初始条件的响应 两自由度无阻尼自由振动的通解： 初始条件： 代入上式，得： 解出： 代入通解，即可得到系统对初始条件的响应 得： 3. 静力耦合与动力耦合 耦合的分类： 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在动力耦合或惯性耦合。 如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在静力耦合或弹性耦合。 如果选取的广义坐标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零，即无动力耦合、静力耦合和阻尼耦合，就相当于两个单自由度系统，这时的坐标就称为主坐标。但实际问题是不容易找到主坐标，如何解耦是动力学的一个研究课题。