6.1半群与群.doc

授课时间 第十二周 第 1 次课 授课章节 6.1半群与群 任课教师 及职称 唐新华 讲师 教学方法 与手段 板书和电子课件结合 课时安排 3课时 使用教材和 主要参考书 1、教材： 耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008 2.参考书 左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006 教学与目的要求： 1、判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群； 2、会运用群的基本性质证明相关的命题； 3、能够证明G的子集构成G的子群； 4、熟悉陪集的定义和性质； 5、熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该定理解决简单的问题； 6、会判别和证明子群的正规性； 7、了解商群的概念； 8、熟悉群同态映射的定义及其性质； 9、会求循环群的生成元及其子群； 10、熟悉n元置换的表示方法、乘法以及n元置换群.判断给定集合和运算能否构成代数系统半群和独异点的概念及性质；群的定义及性质；子群的概念，子群判定定理；陪集的概念，拉格朗日定理；正规子群的概念，正规子群的性质及判定；群的同态概念；循环群的概念，循环群的性质，应用相关定理；置换群的概念，置换群的性质。6.1 半群与群 一、本节主要内容 半群与独异点 半群定义与性质 交换半群与独异点 半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态 群 群的定义与性质 子群与群的直积 循环群 置换群 二、教学内容 半群的定义与实例 定义 设 V=S, o 是代数系统，o为二元运算，如果 ( 运算是可结合的，则称 V 为半群. 实例 （1）Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群，+是 普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，Mn(R),+和Mn(R),·都是半 群，其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）P(B),(为半群，其中(为集合的对称差运算. （4）Zn, (为半群，其中 Zn={0,1, …, n(1}，(为模 n 加法. （5）AA, (为半群，其中 ( 为函数的复合运算. （6）R*,(为半群，其中R*为非零实数集合，(运算定义 如下：(x, y∈R*, x ( y =y 元素的幂运算性质 元素的幂运算定义 设V=S, (为半群，对任意 x∈S，规定：x1 = xxn+1 = xn( x,n∈Z+ 幂运算规则：xn ( xm = xn+m(xn)m= xnm m, n∈Z+ 证明方法：数学归纳法 特殊的半群 定义 设V = S, (是半群 (1) 若( 运算是可交换的，则称V 为交换半群 . (2) 若 e∈S 是关于 ( 运算的幺元，则称 V 是含幺半群，也叫做 独异点. 独异点 V 记作 V = S, (, e 独异点的幂 独异点的幂运算定义  x0 = e xn+1 = xn( x,n∈N 幂运算规则 xn ( xm = xn+m (xn)m= xnm m, n∈N 交换半群和独异点的实例 例1 （1）N,+,0,Z,+,0,Q,+,0,R,+,0都是交 换半群，也是独异点，+ 是普通加法. （2）设 n 是大于 1 的正整数，Mn(R),+和Mn(R),·都是 独异点，其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加 法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）P(B),(,(为交换半群和独异点，其中(为集合的对 称差运算. （4）Zn, (,0为交换半群与独异点，其中 Zn = {0, 1, …, n(1}， ( 为模 n 加法. （5）AA, (,IA为独异点，不是交换半群，其中 ( 为函数的 复合运算. 半群与独异点的子代数 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点 判断方法 设 V=S,(为半群， T 是 S 的非空子集， T 是 V 的子半群当且仅当 T 对 o 运算封闭. 设 V = S, (, e为独异点，T 是 V 的子独异点当且仅当 T 对 o 运算封闭，且 e(T 实例： Z+,+, N,+是Z,+的子半群，N,+是Z,+ 的子独异点， Z+,+不是Z,+的子独异点. 半群与独异点的积代数 定义 设 V1=S1,( ，V2=S2,? 是半群 (或独异 点)，令S = S1×S2，定义 S 上的 · 运算如下： (a,b,c,d∈S，