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授课时间 第十二周 第 1 次课
授课章节 6.1半群与群 任课教师
及职称 唐新华
讲师 教学方法
与手段 板书和电子课件结合 课时安排 3课时 使用教材和
主要参考书 1、教材:
耿素云等,离散数学,清华大学出版社,2008
2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才,离散数学(上海科技文献版)2006 教学与目的要求:
1、判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群;
2、会运用群的基本性质证明相关的命题;
3、能够证明G的子集构成G的子群;
4、熟悉陪集的定义和性质;
5、熟悉拉格朗日定理及其推论,学习使用该定理解决简单的问题;
6、会判别和证明子群的正规性;
7、了解商群的概念;
8、熟悉群同态映射的定义及其性质;
9、会求循环群的生成元及其子群;
10、熟悉n元置换的表示方法、乘法以及n元置换群.判断给定集合和运算能否构成代数系统半群和独异点的概念及性质;群的定义及性质;子群的概念,子群判定定理;陪集的概念,拉格朗日定理;正规子群的概念,正规子群的性质及判定;群的同态概念;循环群的概念,循环群的性质,应用相关定理;置换群的概念,置换群的性质。6.1 半群与群
一、本节主要内容
半群与独异点
半群定义与性质
交换半群与独异点
半群与独异点的子代数和积代数
半群与独异点的同态
群
群的定义与性质
子群与群的直积
循环群
置换群
二、教学内容
半群的定义与实例
定义 设 V=S, o 是代数系统,o为二元运算,如果 ( 运算是可结合的,则称 V 为半群.
实例 (1)Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群,+是
普通加法.
(2)设 n 是大于1的正整数,Mn(R),+和Mn(R),·都是半
群,其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法.
(3)P(B),(为半群,其中(为集合的对称差运算.
(4)Zn, (为半群,其中 Zn={0,1, …, n(1},(为模 n 加法.
(5)AA, (为半群,其中 ( 为函数的复合运算.
(6)R*,(为半群,其中R*为非零实数集合,(运算定义
如下:(x, y∈R*, x ( y =y
元素的幂运算性质
元素的幂运算定义
设V=S, (为半群,对任意 x∈S,规定:x1 = xxn+1 = xn( x,n∈Z+
幂运算规则:xn ( xm = xn+m(xn)m= xnm m, n∈Z+
证明方法:数学归纳法
特殊的半群
定义 设V = S, (是半群
(1) 若( 运算是可交换的,则称V 为交换半群 .
(2) 若 e∈S 是关于 ( 运算的幺元,则称 V 是含幺半群,也叫做 独异点.
独异点 V 记作 V = S, (, e
独异点的幂
独异点的幂运算定义 x0 = e xn+1 = xn( x,n∈N
幂运算规则
xn ( xm = xn+m (xn)m= xnm m, n∈N
交换半群和独异点的实例
例1 (1)N,+,0,Z,+,0,Q,+,0,R,+,0都是交
换半群,也是独异点,+ 是普通加法.
(2)设 n 是大于 1 的正整数,Mn(R),+和Mn(R),·都是
独异点,其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加
法构成交换半群,乘法不是交换半群.
(3)P(B),(,(为交换半群和独异点,其中(为集合的对
称差运算.
(4)Zn, (,0为交换半群与独异点,其中 Zn = {0, 1, …,
n(1}, ( 为模 n 加法.
(5)AA, (,IA为独异点,不是交换半群,其中 ( 为函数的
复合运算.
半群与独异点的子代数
定义 半群的子代数称为子半群,独异点的子代数称
为子独异点
判断方法
设 V=S,(为半群, T 是 S 的非空子集,
T 是 V 的子半群当且仅当 T 对 o 运算封闭.
设 V = S, (, e为独异点,T 是 V 的子独异点当且仅当 T 对 o 运算封闭,且 e(T
实例:
Z+,+, N,+是Z,+的子半群,N,+是Z,+
的子独异点, Z+,+不是Z,+的子独异点.
半群与独异点的积代数
定义 设 V1=S1,( ,V2=S2,? 是半群 (或独异
点),令S = S1×S2,定义 S 上的 · 运算如下:
(a,b,c,d∈S,
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