07_定解问题.ppt

§7.1 数学物理方程的导出 * * 第二篇 数学物理方程 主要指物理学的一个分支－数学物理涉及的偏微分方程和积分方程。 本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的常见解法。 第七章 数学物理定解问题 研究物理量随着时间t的变化, 即x(t) ?常微分方程 研究物理量在时空中的分布情况, 即x(r,t) ?偏微分方程 质点力学中质点的位移随着时间的变化； 电路问题中电流和电压随着时间的变化；…… 静电场中电场强度或电势在空间中的分布； 电磁波的电场强度和磁感应强度在时空中的变化情况; 声场中的声压在时空中变化； 半导体材料中杂质浓度在硅片中随时间的扩散情况； 牛顿的伟大贡献之一：将物理规律和初条件区分开。 边界条件 初始条件 ? 特殊性、个性 物理规律 ? 普遍性、共性 定解问题 ?数学物理方程 ?定 解 条 件 物理规律 数学语言 翻译 步骤 确定研究的物理量 选择系统中的某个微元 研究此微元与邻近微元相互作用 （一）均匀弦的微小横振动 （二）均匀杆的纵振动 （三）传输线方程（电报方程） （四）均匀薄膜的微小横振动 （五）流体力学和声学方程 常见的数学物理方程 （六）电磁波方程 （七/八）扩散方程, 热传导方程 （九/十）稳定浓度/温度分布 （十一）静电场 （十二）稳恒电流场 §7.2 定解条件 定解问题 数学物理方程?共性 定 解 条 件?个性 “环境”?边界条件 “历史”?初始条件 （一）初始条件 振动问题 输运问题 初始分布 初始“速度” 初始“位移” 例： 稳定场问题 无需初始条件 （二）边界条件 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 齐次边界条件 (1) 第一类边界条件 例：弦两端固定 细杆导热，x=a端温度为f(t) 一维杂质浓度扩散，x=0, l端浓度保持为N0 (2) 第二类边界条件 例2：细杆导热，在x=a端有热流f(t)沿外法线方向流出/流入 例1：纵振动杆，右端点x=a处，受沿端点外法线方向外力f(t) 胡克定律? 如果端点x=a处自由，f(t)=0，则 热传导定律? 如果端点x=a处绝热，f(t)=0，则 (3) 第三类边界条件 右端点x=a， 左端点x=0， 例1：细杆导热，在x=a端“自由冷却” 例2：纵振动杆，端点x=a处与弹性体连接到固定物上 弹性连接? （三）衔接条件 注：区分边界条件与泛定方程中的外力/外源; 无边界问题 例： 例： 衔接条件 §7.3 数学物理方程的分类 线性方程和叠加原理 线性算子L满足可加性条件： 如果L是线性微分算子，那么方程Lu=f 称为线性微分方程；如果f=0，则称方程为齐次的，否则为非齐次的。 例： 则 叠加原理：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件即可。 例：下面的定解问题 可看作右边三个定解问题的叠加。 线性二阶偏微分方程 其中aij, bi, c, f只是xi的函数。当仅有两个自变量x和y时， 做变量代换 方程仍是线性的，其中 一阶偏微分方程 的两个根分别作为?, ?可使得A11=A22=0。方程(1)可以化简为 知其特征方程为 方程的两个解 椭圆型 抛物型 双曲型 系数是x,y的函数, 所以方程在x, y的不同区域上类型不同。 作自变数代换时，方程类型不变。 特征方程的一般积分?(x, y)=常数, ?(x, y)=常数称为“特征线”。 考虑z(x,y)=常数, 知 (1) 双曲型方程 A11=A22=0, 且 dy/dx给出一族特征线?(x, y)=常数, ?(x, y)=常数。 (2) 抛物型方程 (3) 椭圆型方程 A12=A22=0; 特征线?(x, y)=常数, ?(x, y)=常数; ?(x, y)=?*(x, y).