7.6可降阶微分方程.ppt

一阶线性非齐次方程 3.积分因子(恰当因子) 常用微分倒推公式: 一、 例1. 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 二、 例3. 求解 例4. 三、 例5. 求解 例6. 例6. 解初值问题 例7. 求方程的通解 例8. 内容小结 作业 两点说明： 2. 求方程 * 分离变量: §7.2 可分离变量微分方程 解分离变量的方程 1.可分离变量方程的概念 第七章 (只需两边求不定积分) 若 = 则称(1)为可分离变量的方程 (1) (2) §7.1 微分方程基本概念(略) 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再还原 便得原方程的通解. 2.解法: 分离变量: §7.3 齐次方程 1.定义 若 令 可化为可分离变量的 形如 的方程 的方程 形如 原方程为上述类型 当 时, 令 (b≠0) 1). 2). 当 时, 有惟一解(x,y)=(h,k) 通过变量代换化非标准类型为已知类型方程是常用的方法 如P315第7题 令 令 形如 令 均可化为可分离变量的. 令 可分离… 可分离… 可分离… 的通解 伯努利方程 令 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. (线性方程) 原方程化为 一阶线性齐次方程 的通解 简单复习§7.4 1. 连续函数 满足下列方程: 解: 令 又 求 则 两边求导得 (一阶线性非齐次) 通解 = 0, 所以C=－1． 则 注: … 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, ① 为全微分方程 则 2.求解方法及步骤: 方法有三种(参见P149,二元函数的全微分求积) 求原函数 u (x, y) 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 则称 为全微分方程 ( 或恰当方程 ) . ① 1.定义: 若存在 使, 简单复习§7.5 使 为全微分方程, 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子. 若存在连续可微函数 积分因子. §7.6 可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第七章 (不显含y) (不显含x) 二阶微分方程 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 连续 n 次不定积分(且不要常数) 为n -1次多项式. 解: 积分不要常数 所以通解为: 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律. 初初速度为0, 且 对方程两边积分, 得 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 ( ? : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 故有 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 (好处在后面) (好处) 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: M : 地球质量 m : 物体质量 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: 代入方程得 积分得 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 两端积分得 因此有 注意“－”号 由于 y = R 时 由原方程可得 因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 分离变量 显化 解: 令 代入方程得 可求得其通解为: 还原得原方程的通解为: 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 区间[ 0, x ] 上以