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第18章 量子力学基础 习题解答
1.一波长为300nm的光子,假定其波长的测量精度为,即,求该光子位置的不确定量。
解: 光子,
由测不准关系,光子位置的不准确量为
2.原子的线度为,求原子中电子速度的不确定量。
解:依题意,电子位置的不确定量为,由不确定关系,有
3.波函数模的二次方的物理意义是什么?波函数必须满足哪些条件?
解:波函数是描述运动状态的函数时刻空间各点出现概率的数学量.概率是相对值.则点的概率比值为:
∴ 概率分布不变.
5.假设粒子只在一维空间运动,它的状态可用如下波函数来描写:
式中,E和a分别为确定常数,A为归一化系数,计算归—化的波函数和概率密度。
解:根据波函数的归一化条件,有
得
故归一化波函数为
相应的概率密度
6.已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为:
那么,粒子在处出现的概率密度为多少?
解:
7.粒子在一维无限深势阱中运动,其波函数为:
若粒子处于的状态,在0~区间发现粒子的概率是多少?
解:
∴ 在区间发现粒子的概率为:
8.宽度为的一维无限深势阱中粒子的波函数为,求:(1)归一化系数;(2)在时何处发现粒子的概率最大?
解:(1)归一化系数
即
∴
粒子的波函数
(2)当时,
几率密度
令,即,即,
∴
又因,,
∴当和时有极大值,
当时,.
∴极大值的地方为,处
9.求一电子处在宽度为和a=1m的势阱中运动的能级值。把结果同室温(T=300K)下电子的平均平动动能进行比较,可得到什么结论?
解:由电子在势阱中的能级公式得
当时,
当时,
在室温(T=300K)下电子的平均平动动能。
故对宏观问题,电子的量子效应可以忽略。
10.质量为m、电量为的粒子在点电荷所产生的电场中运动,求其定态薛定谔方程。
解:系统的势能函数为
故其定态薛定谔方程为:
11.描述原子中电子定态需要哪几个量子数?它们的取值范围如何?它们各代表什么含义?
解:主量子数n:n=1,2,…,它基本上决定原子中电子的,它决定了电子轨道角动量的大小,它确定了电子轨道角动量,它确定了电子自旋角动量四个量子数表征。当n、l、m一定时,不同的量子态数目是多少?当n、l一定时,不同的量子态数目是多少?当一定时,不同的量子态数目是多少?
解:(1)
(2),每个有个,每个可容纳的个量子态.
(3)
13.计算氢原子中l = 4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值,并画出电子角动量在磁场中空间量子化的示意图。
解:
磁场为方向,,,,,,.
∴
14.求出能够占据一个d支壳层的最多电子数,并写出这些电子的和值。
解:分壳层的量子数,可容纳最大电子数为个,这些电子的:
,,,
15.某原子处在基态时,其K、L、M壳层和4s、4p、4d支壳层都填满电子。试问这是哪种原子?
解:由题意可得,可知该原子为钯
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