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第18章 量子力学基础 习题解答 1．一波长为300nm的光子，假定其波长的测量精度为，即，求该光子位置的不确定量。 解： 光子， 由测不准关系，光子位置的不准确量为 2．原子的线度为，求原子中电子速度的不确定量。 解：依题意，电子位置的不确定量为，由不确定关系，有 3．波函数模的二次方的物理意义是什么？波函数必须满足哪些条件？ 解：波函数是描述运动状态的函数时刻空间各点出现概率的数学量．概率是相对值．则点的概率比值为： ∴ 概率分布不变． 5．假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写： 式中，E和a分别为确定常数，A为归一化系数，计算归—化的波函数和概率密度。 解：根据波函数的归一化条件，有 得 故归一化波函数为 相应的概率密度 6．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： 那么，粒子在处出现的概率密度为多少? 解： 7．粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： 若粒子处于的状态，在0～区间发现粒子的概率是多少? 解： ∴ 在区间发现粒子的概率为： 8．宽度为的一维无限深势阱中粒子的波函数为，求：(1)归一化系数；(2)在时何处发现粒子的概率最大？ 解：(1)归一化系数 即 ∴ 粒子的波函数 (2)当时， 几率密度 令，即,即， ∴ 又因，， ∴当和时有极大值， 当时，． ∴极大值的地方为，处 9．求一电子处在宽度为和a=1m的势阱中运动的能级值。把结果同室温(T=300K)下电子的平均平动动能进行比较，可得到什么结论？ 解：由电子在势阱中的能级公式得 当时， 当时， 在室温(T=300K)下电子的平均平动动能。 故对宏观问题，电子的量子效应可以忽略。 10．质量为m、电量为的粒子在点电荷所产生的电场中运动，求其定态薛定谔方程。 解：系统的势能函数为 故其定态薛定谔方程为： 11．描述原子中电子定态需要哪几个量子数？它们的取值范围如何？它们各代表什么含义？ 解：主量子数n：n=1，2，…，它基本上决定原子中电子的，它决定了电子轨道角动量的大小，它确定了电子轨道角动量，它确定了电子自旋角动量四个量子数表征。当n、l、m一定时，不同的量子态数目是多少？当n、l一定时，不同的量子态数目是多少？当一定时，不同的量子态数目是多少？ 解：(1) (2)，每个有个，每个可容纳的个量子态． (3) 13．计算氢原子中l = 4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值，并画出电子角动量在磁场中空间量子化的示意图。 解： 磁场为方向，，,，，，． ∴ 14．求出能够占据一个d支壳层的最多电子数，并写出这些电子的和值。 解：分壳层的量子数，可容纳最大电子数为个，这些电子的： ，，， 15．某原子处在基态时，其K、L、M壳层和4s、4p、4d支壳层都填满电子。试问这是哪种原子？ 解：由题意可得，可知该原子为钯