1.1.2余弦定理(第二课时).docVIP

●课题 §1.1.2 余弦定理(二) 知识要点： (一)知识目标 余弦定理 (二)能力目标 1.了解向量知识应用； 2.掌握余弦定理推导过程； 3.会利用余弦定理证明简单三角形问题； 4.会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题； 5.能利用计算器进行运算. 3.典型例题： ［例1］在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.(精确到1°) 分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二. 解：∵cosA＝ ＝＝0.725， ∴A≈44° ∵cosC＝＝＝0.8071 ∴C≈36° ∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°. 评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180°，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出. (2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算. ［例2］在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′). 分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但根据§5.9.1斜三角形求解经验，若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在0°～180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好. 解：由c2＝a2＋b2－2abcosC＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′ 得c＝4.297. ∵cosA＝ ＝＝0.7767 ∴A＝39°2′ ∴B＝180°－(A＋C) ＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′. 评述：通过例2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦. ［例3］已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC. 分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式S△ABC＝acsinB可以求出. 若用余弦定理求c，表面上缺少C，但可利用余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB建立关于c的方程，亦能达到求c的目的. 下面给出两种解法. 解法一：由正弦定理得 ∴A1＝81.8°，A2＝98.2° ∴C1＝38.2°，C2＝21.8°， 由，得c1＝3，c2＝5 ∴S△ABC＝ac1sinB＝6 或S△ABC＝ac2sinB＝10 解法二：由余弦定理得 b2＝c2＋a2－2cacosB ∴72＝c2＋82－2×8×ccos60° 整理得：c2－8c＋15＝0 解之得：c1＝3，c2＝5， ∴S△ABC＝ac1sinB＝6， 或S△ABC＝ac2sinB＝10. 评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意. 作业练习 能力基础题： 1．在ABC中，符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ 解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题． 2．(2011年合肥检测)在ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　　) A.　　　　　　　　B. C．0 D. 解析：选C.c＞b＞a，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝＝0. 3．已知ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 解析：选B.42＝16＞22＋32＝13，边长为4的边所对的角是钝角，ABC是钝角三角形． ．在ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 解析：由余弦定理， 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA， 即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－)， AC2＋5AC－24＝0. AC＝3或AC＝－8(舍去)． 答案：3 ．已知在ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，求角C. 解：A为b，c的夹角， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 16＝9＋c2－6×c， 整理得5c2－18c－35＝0. 解得c＝5或c＝－(舍)． 由余弦定理得cos C＝＝＝0， 0°＜C＜180°，C＝90°.．在ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为(　　) A. B. C. D.或