选修2-3二项式定理(公开课).ppt

二项式定理 一、创设情境，引入新课 探究1： 二、引导探究、获得新知 将 展开得 思考：（1）项是怎样构成的？ （2）展开式有多少项？为什么？ 探究2： 在上式中：如果 将 则展开式又是什么？ 仍然有4项，但有同类项，合并同类项得： 思考：展开式各项具备什么形式？其同类项有多少？ 10 你能得到它们的展开式吗？ 探究3： 你能得到它的展开式吗？ 探究4： (a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 对(a+b)2展开式的分析 (a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？ 1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ 2)．各项前的系数代表着什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数 问题 每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4  ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4 3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 (a+b)n=? 二项展开式定理 每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1 Cnk ： 二项式系数 ①项数：二项展开式共有n+1项 ② 指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnk xk +…+ xn 注 三：归纳定理： 上述公式叫做二项式定理。 Cnk an-kbk 注意：Cnk an-kbk 是二项展开式的第____项 能否用具有一般性的式子来表示二项式展开式的项呢？ 20 例1. 求 四、知识应用、巩固理解 的展开式，并指出第3项、 第3项的二项式系数和第3项的系数。 28 方法总结： 通项公式 化简 令x的次数取特定的值 计算二项式展开式中特定项 练习 解 分析:先化简再运用公式 解: 练习 练习 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项 注： 1)注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数：Cnr； 项的系数：二项式系数与数字系数的积 2)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开 第4项的二项式系数 第4项的系数 练习 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数 解 (1) (1+2x)7的展开式的第4项是 T3+1=C73?17-3?(2x)3 =35×23×x3 =280x3 分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数 练习 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项 9-2r =3 r =3 x3系数是 (-1)3C93=-84