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12.2　三角形全等的判定 1．三角形全等的判定方法一：边边边(SSS) (1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)． 这个判定方法告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也就随之确定，这就是三角形的稳定性，它在实际生活中应用非常广泛． (2)书写格式： ①先写出所要判定的两个三角形； ②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出； ③得出结论：两个三角形全等． 如下图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵ ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)． 书写判定两个三角形全等的条件　在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量．如上图，等号左边表示△ABC的量，等号右边表示△A′B′C′的量． (3)作一个角等于已知角． 已知：∠AOB. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 作法：如上图所示，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点D′； ④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB. 【例1】 如图所示，已知AB＝DC，AC＝DB， 求证：△ABC≌△DCB. 分析：已知两边对应相等，由图形可知BC为两个三角形的公共边，所以△ABC≌△DCB(SSS)． 证明：在△ABC和△DCB中， ∵ ∴△ABC≌△DCB(SSS)． 2．三角形全等的判定方法二：边角边(SAS) (1)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)． (2)书写格式： 如下图，在△ABC和△A′B′C′中， ∴ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)． 不能用“SSA”判定三角形全等　 (3)注意： ①在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，且角是两边的夹角，而不是其中一边的对角． ②为了避免“SAS”与“SSA”(两边不夹角)混淆，在应用该方法时，要观察图形确定三个条件，按“边→角→边”的顺序排列，并按此顺序书写． 【例2】 如图，两个透明三角形纸片叠放到桌面上，已知∠ACE＝∠FCB，AC＝EC，BC＝FC，则△ABC与△EFC全等吗？请说明理由． 解：△ABC≌△EFC. 理由：∵∠ACE＝∠FCB， ∴∠ACE＋∠ECB＝∠FCB＋∠ECB， 即∠ACB＝∠ECF. 在△ABC和△EFC中， ∵ ∴△ABC≌△EFC(SAS)． 3．三角形全等的判定方法三、四：角边角(ASA)及角角边(AAS) (1)角边角： ①内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)． ②书写格式： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵ ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)． (2)角角边： ①内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)． ②书写格式： 如下图，在△ABC和△A′B′C′中， ∵ ∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)． (3)“角边角”与“角角边”的关系： 由三角形的内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等，则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一定全等．无论这一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可判定两个三角形全等． (4)注意： ①在运用“ASA”时，要从图形上确定是按“角→边→角”的顺序排列条件； ②在运用“AAS”时，要从图形上确定是按“角→角→边”的顺序排列条件． 不能用“AAA”判定三角形全等 有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“AAA”作为三角形全等的判定．如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，很显然，△ABC和△A′B′C′不全等． 【例3】 (一题多证)已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝EF. 求证：AE＝CE. 证法一：∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠F. 在△ADE和△CFE中， ∵ ∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AE＝CE. 证法二：∵AB∥FC， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F. 在△ADE和△CFE中，∵ ∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AE＝CE. 4．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL) (1)内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)． (2)书写格式： 如下图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)． “HL”适用的前提条件　(1)“HL”只适合直角三角形全