函数与导数三轮专题.docVIP

函数与导数三轮专题 1 设函数f(x)=其中a为实数. (Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，， ，即当时的定义域为． （Ⅱ），令，得． 由，得或，又， 时，由得； 当时，；当时，由得， 即当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为． 2 设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2a ln x＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有， 故， 于是， 列表如下： 2 0 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值． （Ⅱ）证明：由知，的极小值． 于是由上表知，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有． 3 已知函数在区间，内各有一个极值点． （I）求的最大值； （II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式． 解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根， 设两实根为（），则，且．于是 ，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ，即， 因为切线在点处空过的图象， 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点． 而，且 ． 若，则和都是的极值点． 所以，即，又由，得，故． 解法二：同解法一得 ． 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）． 当时，，当时，； 或当时，，当时，． 设，则 当时，，当时，； 或当时，，当时，． 由知是的一个极值点，则， 所以，又由，得，故 4 设函数，其中． 证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值． 证明：因为，所以的定义域为． ． 当时，如果在上单调递增； 如果在上单调递减． 所以当，函数没有极值点． 当时， 令， 将（舍去），， 当时，随的变化情况如下表： 0 极小值 从上表可看出， 函数有且只有一个极小值点，极小值为． 当时，随的变化情况如下表： 0 极大值 从上表可看出， 函数有且只有一个极大值点，极大值为． 综上所述， 当时，函数没有极值点； 当时， 若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为． 若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为． 5 设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值； （Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立． Ⅰ）解：当时，，得，且 ，． 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ． 令，解得或． 由于，以下分两种情况讨论． （1）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且 ； 函数在处取得极大值，且 ． （2）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且 ； 函数在处取得极大值，且 ． （Ⅲ）证明：由，得，当时， ，． 由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使， 只要 即 　　　　　　　　① 设，则函数在上的最大值为． 要使①式恒成立，必须，即或． 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立． 用心 爱心 专心