初三数学圆中有关计算知识精讲.docVIP

初三数学圆中有关计算 【本讲主要内容】 圆中有关计算 包括圆中有关线段的计算，角度的计算，圆的周长及面积等。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 垂弦定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 直径上的圆周角等于90°。 3. 勾股定理。 4. 锐角三角函数。 5. 圆的周长，弧长：l。 6. 圆的面积：，扇形面积：lR 弓形面积：等腰三角形的面积 【解题方法指导】 例1. （2005年广州市）如图，AE切圆D于点E，AC＝CD＝DB＝10，则线段AE的长为（ ） A. B. 15 C. D. 20 分析：由AE是圆D的切线，连结DE，则DE⊥AE，由勾股定理，可求得AE的长。 解：连结DE，∵AE是圆D的切线， ∴DE⊥AE，又AD＝20，DE＝10 故选C。 评析：切线的性质可以构造出直角三角形。 例2. （2005年贵阳市）如图，已知圆O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上任意一点，则OP的取值范围是________。 分析：连结OB，知，作于C， 则，由AB＝8，OB＝5 可求出OP的取值范围。 解：连结OB，作OC⊥AB于C ∵OB＝5 评析：OC是最短的线段，OB是最长的线段，因此可求出OP的取值范围，但应注意带上等号。 例3. （2005年南通市）如图，已知圆O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 分析：由弦AB、CD相交于点E，可证出AE·EB＝CE·ED， 由AE＝EB＝2，DE＝CE＋3 可设CE＝x，则DE＝x＋3，列出方程即可。 解：连结DB、AC ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B ∵AB＝4，E是AB中点， ∴AE＝EB＝2 又DE＝CE＋3，设CE＝x，则DE＝x＋3 （舍去） ∴CE＝1，DE＝1＋3＝4 ∴CD＝1＋4＝5 故选B。 评析：由等式列出方程求解，体现了方程思想。 例4. （2005年武汉）如图，圆O是△ABC的外接圆，且∠BAO＝25°，则∠C的大小为（ ） A. 25° B. 50° C. 60° D. 65° 分析：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝25°，而∠AOB＝2∠C， ∴∠AOB＝180°―∠OAB―∠OBA＝180°―25°―25°＝130° ∴∠C∠AOB＝65°，故选D。 解：∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝25° ∴∠AOB＝180°―25°―25°＝130° 又∠AOB＝2∠C ∴∠C∠AOB×130°＝65° 故选D。 评析：这里用到了同弧上的圆心角是圆周角的2倍。 【考点突破】 【考点指要】 圆中的计算问题内容很丰富，涉及到许多性质，可以考查同学们的计算能力，因此在中考中经常出现，但难度不是很大，加上对实际问题中弧长、扇形等问题的不断出现，还应该对圆中的计算问题予以重视，在计算中，还要注意推理。 【典型例题分析】 例1. （2005年 河南）如图，在圆O中，弦AB＝AC＝5cm，弦BC＝8cm，则圆O的半径等于________cm。 分析：作AD⊥BC于D，则由AB＝AC，可知AD平分BC，即AD是BC的垂直平分线，因此它必过圆心O，设交圆O于E，可由AD·DE＝BD·DC求出AE的长，进而求出半径的长。 解：作AD⊥BC于D，延长AD交圆O于E ∵AB＝AC，∴AD平分BC ∴AE是BC的垂直平分线，必过圆心O ∴AE是圆O的直径 ∵AD·DE＝BD·DC 又 ∴AD＝3，AD＝－3（舍去负值）， ∴圆O半径等于 评析：此题的解题过程应用很多知识，应一步一步推算，每一步都要讲道理，不要想当然，因此，在计算问题中也要注意严谨性。此题还可以连结OB，由Rt△OBD列出方程。 例2. （2005年 海南）如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转_______度时与圆O相切。 分析：当AB绕点B旋转与圆O相切时，连结切点与圆心，可得到直角三角形，利用三角函数求角的度数。 解：作BD切圆O于D，连结OD 则∠BDO＝90° ∴∠B＝30°，∴BA旋转了90°－30°＝60°或60°＋60°＝120° 评析：此题把切线的问题通过旋转给出，只要弄懂题意，问题便不难了，这种富有新意的题目对分析问题的能力很有帮助。但最后还要解决一个问题，即BA旋转了多少度，它不是30°，而是60°（旋转到BD位置），