初三数学开放探索性试题的分类简析.docVIP

开放探索性试题的分类简析 徐利根 杨惠琴 探索性试题是中考中必考的试题。它主要考查学生的探索能力。也可以充分考查考生观察问题、解决问题的能力，是新课程改革的重要标志。近几年各地中考试题中，这是一个热点问题。下面我们分类讨论这类问题的具体处理方法，供大家在中考复习时作参考。 一、存在性探索题 这一类试题主要是在某种条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在。 例1. （2007年重庆市中考压轴题）已知在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图1所示的平面直角坐标系。点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。 （1）求点C的坐标； （2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P是线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。 分析：（1）C（，3） （2） （3）如图1，由于CD∥PM，要探索四边形CDPM是否为等腰梯形，我们运用点参数的方法表示出点P、点Q、点D的坐标，假设CE＝QD，问题转化为二次方程是否有解。 解：因为的顶点坐标为C（，3），MP⊥x轴，设垂足为N，设PN＝t。 因为∠BOA＝30°，所以， 所以P（）。作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E，把代入 得 所以M：，同理Q（），D（）。 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD， 即， 解得（舍去）， 所以。 所以，存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时，点P为。 探索性试题的解法是：我们首先假设满足题意的结论成立，如果经过推理，得出合理的结果，说明的确存在，如果得出矛盾，说明满足题意的结论不成立。 二、猜想型探索题 这类问题一般结论不明确，要求考生猜想，然后再进行计算或证明。 例2. （2007年哈尔滨市中考数学试题）如图2，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F。 （1）求证：； （2）点从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点从点A出发，沿着BA的延长线运动，点与点的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点也随之停止运动。如图3，平分，交BD于点，过点作，垂足为，请猜想，与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想。 （3）在（2）的条件下，当时，求BD的长。 分析：（1）如图2，只要过点F作FM⊥AB于点M，证明Rt△AMF≌Rt△AEF，结论成立。 （2）探求动点移动的规律，关键是抓住动点移动的过程中哪些是不变的因素。利用全等三角形这一桥梁，大胆猜想，小心求证。结论是：仍然成立。 证明：如图3，连接，过点作于点P，于点Q，平分， 所以， 同理， 所以。 又， 所以≌， 所以， 同理≌， 所以。 由题意：， 所以 所以 即 所以 下面我们运用数形结合法来解决第（3）小题。 设，则，由（2）可知： 在中，， 即 所以（舍去） 所以PB＝1，所以。 又，由（2）的结论： 得：， 所以 本题是一道开放性问题。在解决后面的小题时，往往要利用前面小题的思想方法和结论。 三、动态探索题 例3. （2007年天津市中考数学试题）如图4，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。 （1）求证：AE·AB＝AF·AC； （2）如果将图4中的直线BC向上平移与圆O相交得图5，或向下平移得图6，此时，AE·AB＝AF·AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。 分析：（1）如图4，只要连接DE， 证明Rt△AED~Rt△ADB得， 同理连接DF，可证Rt△AFD~Rt△ADC， 得， 所以AE·AB＝AF·AC成立。 （2）虽然BC的位置改变了，但是BC在上、下移动的过程中，始终与AD垂直，故可判定结论AE·AB＝AF·AC仍然成立。现证明如下： 如图5，连接DE，设BC与AD交于点D′， 因为AD是圆O的直径，所以∠AED＝90°。 又因为∠D′AB＝∠EAD， 所以Rt△AD′B~Rt△AED， 所以， 即AE·AB＝AD′·AD， 同理AF·AC＝AD′·AD， 所以AE·AB＝AF·AC。 同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图6时，AE·AB＝AF·AC仍然成立。 说明：解这类题的关键是：动态问题静态看，紧紧抓住不变量或不变的位置关系。 四、结论探索型 这类问题一般的结构是：给定条件去寻求满足条件的结论。 例4. （2007年北京市中考数学压轴题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对