初三数学勾股定理“一、二”专题辅导.docVIP

勾股定理“一、二” 闫芳 勾股定理是人类的宝贵财富，它揭示了直角三角形三边之间的关系，是平面几何中的一个极为重要的定理。尤其是其体现出来的“数形结合”、“数形统一”思想方法更具有科学创新的重大意义。 一、勾股定理在初中阶段常见错误及应用拓展 1、思维定势 例1 在直角△ABC中，已知两边长为3和4，求第三边长． 错解：由勾股定理得第三边长为5． 错因剖析：这是很多同学在学习勾股定理时屡犯的错误，主要在于受勾3、股4、弦5的影响，不假思索得出以上错误结论． 正解：题中已知两边可能为两直角边也可能为一直角边和一斜边，因此应分类讨论： （1）当3和4同时为直角边时，第三边为； （2）当3为直角边时，4为斜边时，第三边为 2、生搬硬套 例2 已知三角形的三边长a=12，b=20，c=16，这个三角形是直角三角形吗？ 错解：∵a2+b2=122+202=544，c2=162=256， ∴由a、b、c组成的三角形不是直角三角形． 错因剖析：本题错在只是表面记住了a2+b2=c2，而没有分析其中的c应是a、b、c这三边中的最长边．应用勾股定理逆定理判断三角形形状是应先确定较长边，然后计算较短的两条边的平方和是否等于较长边的平方． 正解：∵201612，且122+162=202，由a、b、c组成的三角形是直角三角形． 3、忽视条件 例3 如图，一艘轮船从甲地向南偏西45°方向航行80km到达乙地，然后又向北航行100km到达丙地，这时它离甲地多远（精确到1km）? 应用勾股定理的前提条件必须是直角三角形，也就是说只有直角三角形的三边才满足这个关系，题中并未指出该三角形为直角三角形，因此是滥用定理． 正解：过A作AD⊥BC，垂足为D，设AD=xkm，则BD=100-x（km），由∠DAC=45°，可得AD=xkm． 在Rt△ADC中，由勾股定理得，AD2+DC2=AC2， 即x2+x2=802，解得x≈28.3． 在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2， 即28.32+（100-x）2=1002，解得x≈71． 这时它离甲地约71km． 4、顾此失彼 例4 在△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，求BC的长． 错解：如图1，由勾股定理得，BD= ∴BC=9+5=14． 错因剖析：错因在于只考虑了AD在△ABC内部的情况，忽视了高AD也可能在△ABC外部． 正解：（1）当∠B和∠C为锐角时，解法同上可得BC=14． （2）当∠B为钝角时如图2所示．在Rt△ADC中，由勾股定理得DC=，同理可得BD=5。 ∴BC=DC-DB=9-5=4． 综上知BC=14或4． 说明：分类讨论是研究数学问题的常用的一种思想方法，也是一种很重要的解题策略，正确合理的讨论往往能使复杂问题条理化，简单化，从而正确求解． 二、勾股定理与其它学科综合题 1、勾股定理在古典题目中的应用 例5 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何?”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿于水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（如图）．问水深和芦苇长各多少? 剖析：初看题目，感觉所给条件不充分，再加上理解题意有偏差，就无从着手了．分析此题的隐含条件就成为关键，首先要注意到芦苇的根是扎在池塘底的，这样就明确了芦苇的高度与水深的关系．其次要抓住芦苇拉向岸边后，其茎长没有改变，找到这些长度之间的关系，构造三角形，问题就容易解决了． 解 如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺．在Rt△ACB′中由勾股定理得 AC2+B′C2=AB′2，x2+52=（x+1）2。解得x=12，x+l=13，所以水深12尺，芦苇长13尺． 2、勾股定理在物理中的应用 例6 如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光由A射向平面镜反射之后恰巧经过点B，求B点到入射点的距离． 剖析：光的反射与几何中的轴对称有关，本题先用对称知识找到入射点O，再由勾股定理知识即可解决． 解 作B点关于镜CD的对称点B′，连接AB′交CD于O，则O即为入射点． 由对称性可得BD=B′D. 又∵∠AOC=∠B′OD，∠B′OD=∠ACO=90°, ∴△ACO≌△B′DO. ∴CO=DO, ∵CD=AB=6米，∴DO=3米. 在Rt△BDO中，BO= ∴B入射点距离为5米。 3、优化问题中的勾股定理 例7 如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ 剖析：这