初三数学思想方法与新题型解析（续）人教版知识精讲.doc

初三数学思想方法与新题型解析（续）人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 数学思想方法与新题型解析（续） （三）转化思想 我们在解数学题时，常常把有待解决或难以解决的问题，通过某种转化手段，使它转化成已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答，这里运用的就是转化思想。转化的思想是一种最基本的数学思想，解决数学问题的最基本思路就是对数学命题进行等价转化或非等价转化，使问题在转化中得到解决。 转化思想我们并不陌生，在运用换元法解方程时，便是通过换元这个手段，把高次方程转化为低次方程，把分式方程转化为整式方程，把无理方程转化为有理方程，从而使新方程化为旧方程，化难为易。除此之外，在因式分解、化简求值、几何证明，特别是在解综合题的过程中几乎没有一题不体现转化思想的运用。学习和掌握转化思想有利于我们从更深的层次去揭示、把握数学知识、方法之间的内在联系，树立辩证的观点，提高分析问题和解决问题的能力。 1. 把生产、生活中的问题转化为数学问题 例1. 海上有三艘渔船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东60°方向；B船说C船在它的北偏西30°方向；C船则说它到B船的距离是5海里。画出示意图并求出A、B两艘渔船在这一时刻彼此之间的距离。 分析：这是一道有关航海的实际问题，解决本题的关键是根据题意正确地画出示意图，如图所示。可以看到，A、B、C三艘渔船在这一时刻的位置构成了一个三角形，并且。 又知B船与C船的距离是5海里，于是这个实际问题就转化为在直角三角形中，已知一条直角边和锐角，求斜边的简单的解直角三角形的问题。 在Rt△ABC中，CB＝5（海里），∠CAB＝30° ∴AB＝2·CB＝10（海里） ∴A、B两艘渔船在这一时刻彼此之间的距离为10海里 解略。 例2. 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，设喷水管喷口高出地面1.5m，喷出的水流呈抛物线状，抛物线最高点距地面3.5m，且最高点与喷口的连线与水平方向成45°角，问水流落地点到喷管的水平距离是多少（精确到0.1m）？ 分析：本题是一道具有实际意义的问题，首先要把它抽象、转化为数学问题，如何转化？坐标系是有用的工具，如图所示，以喷水管AB所在直线为y轴，A点在地面上，B点是喷口，以过A垂直于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A为坐标原点。 设抛物线顶点为C，作CF⊥x轴于F，BD⊥CF于D，连结CB，则 ∠CBD＝45° 依题意，知B点坐标为（0，1.5），C点坐标为（2，3.5），因此可设水流抛物线的解析式为 ∵抛物线过点B（0，1.5） 设水流落地点为抛物线与x轴交点E 当时，解得 由图可知E点坐标为 ∴水流落地点到喷管的水平距离约为4.6m 解略。 2. 把不熟悉的问题、非常规问题转化为熟悉的问题或常规问题 例3. 如图所示，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E。 求证： 分析：此题求证式的左端是两条线段的乘积，而右端却比较复杂，感到无从下手。联想到等积式的证明，考虑能否把等式的右端转化成两线段的乘积？等式的右端为两项的和，是否可以把其中一项变形，使两项产生公因式，利用提公因式化积？由相交弦定理，得BD·DC＝AD·DE，于是右端可以化为： 因此问题便转化为证明：。这是一个熟悉的命题，可迎刃而解。 证明：连结BE △ABE与△ADC中 由相交弦定理，得： 例4. 已知：抛物线与x轴相交于两个不同的点A、B，顶点为C，且∠ACB＝90°，试求如何平移此抛物线使其∠ACB＝60°。 分析：对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如∠ACB＝90°意味着什么，怎样入手解？二是平移后使∠ACB＝60°，又意味着什么？ 不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，∠ACB＝90°就意味着△ACB是等腰直角三角形，就是说，斜边AB上的高CD等于斜边AB的一半，而AB的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD的长则是顶点C纵坐标的绝对值。于是可以列出方程，求得k的值：设A、B两点横坐标分别为，则它们是方程的两个相异的实数根，那么有 于是 又设顶点C的坐标为，应用顶点坐标公式，有 那么条件就是方程 即 于是抛物线解析式为 这样通过观察图形和计算，不但弄清了∠ACB＝90°意味着什么和