初三数学解直角三角形（锐角三角函数）知识精讲.docVIP

初三数学解直角三角形（锐角三角函数） 【本讲主要内容】 解直角三角形（锐角三角函数） 包括锐角三角函数：角的正弦、余弦、正切，解直角三角形等。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。 2. 在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。 3. 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。 4. 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。 5. 特殊角的三角函数值： ，； ； 6. 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。 7. 解直角三角形的四种类型 已知条件 解法 两条边 两条直角边a和b 一条直角边a和斜边c 一条边和一个锐角 一条直角边a和锐角A 斜边c和锐角A 依据： （1）； （2）； （3）； （4）。 8. 应用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题。 【解题方法指导】 例1. 选择题：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则tanA等于（ ） A. B. C. D. 分析：设法求出∠A的度数，再求值。 解：Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90° 把∠B＝2∠A代入，得 3∠A＝90° ∴∠A＝30° 故选B。 评析：抓住直角三角形中两锐角互余，求出角的度数。 例2. （2002年四川）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，，设∠BCD＝α，那么cosα的值是（ ） A. B. C. D. 分析：由∠ACB＝90°，CD⊥AB，可知∠BCD＝∠A＝α，而，故可解。 解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BCD＝∠A＝α 又 故选D。 评析：此题利用图中的等角关系，使cosα转化为cosA，从而使问题得到解决。此题还可以利用△BCD∽△BAC，得出。 例3. （2005年 山西）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD//AB，则∠α的余弦值为_________。 分析：关键是由∠C＝30°，∠COD＝90°，求出∠α的度数。由CD//AB，可知∠AOC＝∠C＝30°，而∠AOB＝180°，因此∠α的度数可求出，至此思路已通。 解：∵CD//AB， ∴∠AOC＝∠C＝30° ∵∠COD＝90°，∠AOB是一个平角， ∴∠α＝180°―∠AOC―∠COD ＝180°―30°―90° ＝60° 评析：此题用到了平行线的知识，平角的知识，以及特殊角的余弦值，要善于观察图形。 例4. （2003年 北京）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB的值为（ ） A. B. C. D. 分析：由正切函数的定义可知，，而，关键是求出c，可设参数加以解决。 解：由 设 故应选B。 评析：此题是由tanA转化为sinB，要从定义出发，通过设参数加以解决，这种方法很重要，要牢记。 例5. （2005年 海南）如图，在△ABC中，∠A＝30°，，则AB＝_________。 分析：由于AB不是直角三角形的一条边，因此要设法使∠A、∠B分别是直角三角形的一个锐角，再应用三角函数去求。 解：作CD⊥AB于D（如图） 在Rt△ACD中， ∵∠A＝30°， 在Rt△BCD中， 评析：此题是解斜三角形，要回归定义，使图中出现直角三角形。因此作CD⊥AB于D，分别解两个直角三角形即可。这种回归定义的思想很重要，要学会应用。 【考点突破】 【考点指要】 解直角三角形的知识十分重要，在图形的计算以及解决实际问题中都有着广泛的应用，正因为如此，所以在中考试题中频频出现，但大多把有关三角函数及特殊角的三角函数值当作一个工具，用以解决其他问题，难度不是很大，应熟练加以掌握。对于解三角形的四种情况不要死记硬背，结合图形应用三角函数的定义去推导即可。 【典型例题分析】 例1. 已知：如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝6，，CD＝12，求∠D的三个三角函数值。 分析：由于∠BCD＝90°，CD＝12，欲求∠D的四个三角函数值，还需求出BC、BD的长，而BC又是Rt△ABC的一条边长，可由AB＝6，求得BC的长。 解：在Rt△ABC中， ∵∠ABC＝90°， 设BC＝4x，AC＝5x，则 ∴x＝2，x＝－2（舍去负值） ∴BC＝4x＝4×2＝8， 在 评析：当给出后，一