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透过中考命题看初中数学开放题的课堂教学 大庆市祥阁学校 张琳琳 第一章 问题的提出：我国数学教育现状 我国数学教育存在的问题： 我国的数学教学与国际上其他国家相比，重视基本知识的教学和基本技能的训练，学生的数学基本功扎实，学习刻苦勤奋，整体数学水平高。 但学生 在应用数学的意识上和创造能力的发展上却严重滞后，对所学知识的数学背景了解也不多。多年来我们所注重培养的还只是“复制型”的人才，而只有创新才是一个民族发展的灵魂。 第二章 数学开放题的界定、分类、 及研究意义 一、数学开放题的界定 条件多余需选择，条件不足需补充，结论不唯一的习题，称为数学开放题。 二、数学开放题的特征。 从数学开放题的结构和形式上，它具有以下的特征。 1、非完备性 2、不确定性 3、层次性 4、发散性 5、探究性 6、发展性 7、创新性 三、数学开放题的分类。 1、按命题的要素来分类。 1）条件开放型。 例1：如果两个三角形有两条边分别对应相等，请你补充一个条件，使这两个三角形全等。 2) 结论开放型。 例2：“百鸡问题”：已知每只公鸡值五元钱，每只母鸡值三元钱，每只小鸡值一元钱，现在用一百元钱买一百只小鸡。问：这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 3) 策略开放型。 例3：用尽可能多的方法，四等分圆的面积。 4) 综合开放型。 例4：怎样测量一个建筑物的高度？ 针对以上情况有几种不同的结论。 2、从答案的结构上可分为四类。 有限穷举型。 如例2“百鸡问题”，它的答案共有四组解，（4，18，78）；（8，11，33）；（12，4，84）；（0，25，75）。 2）有限混沌型。 给出四个数，用加、减、乘、除算24的游戏，有些问题的解答甚至要借助于电脑。 3) 无限离散型。这类问题的答案是无穷的，我们常用两种方式来处理这类问题：一种是将答案作适当的分类，给出每类答案的典型解法，还有一种是提供一种构造答案的方法。 例5：规定等腰三角形与等边三角形接近的程度为等腰三角形的正度，请你给出一个合理、合情的计算等腰三角形正度的公式。 等边三角形的特征是三个角相等，都是60，边相等但边长未知，那么正度就只能用等腰三角形的底与腰的关系或者顶角与底角的关系来表示。设等腰三角形的底长为a，腰长为b，顶角度数为α，底角度数为β，下面就是一个计算正度的公式：|a-b|，它的值越小，等腰三角形就越接近等边三角形，当取值为0时，就是等边三角形。 例6：某校初一年级有两个班，期末数学成绩优秀者共有42人，全年级的优秀率为40%，其中一班的优秀率为36%，二班的优秀率为42%，求一、二班的人数。 请参照此题不改变列二元一次方程组的形式和解法，再编一道类似的应用题。 4）无限连续型。这类问题的答案分布在一些实数区间内，或者是一些可以连续变化的几何图形。描述这种变化的数学手法通常是引进参数表示。 例7：两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，下面各图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画的三角形可与原三角形有重叠部分）。 四、数学开放题教学的教育学和心理学理论基础 （一）数学开放题教学的教育学理论基础 数学教育有三个领域：课程论、教学论和学习论。 1、数学开放题教学的课程论理论基础： 学科中心课程论、儿童中心课程论和学问中心课程论 2、数学开放题教学的课程论理论基础 教学的七条基本原则： （1）阶段渐进原则 （2）启发引导原则 （3）过程教学原则 （4）归纳演绎原则 （5)面向全体原则 （6)启动学习原则、 （7)动机激发原则 数学开放题的教学开放式教学模式 由师生关系结构、教学内容结构、教学过程结构构成了教学模式的三个“子结构”。 数学开放题的教学主要分为下面几步： 教师提出问题。 学生动脑动手解答问题。 讨论研究，师生合作交流。 师生提出来变式问题，深化研究。 教师总结，或提出更一般化的问题。 3、数学开放题教学的学习论基础。 国外的学习理论流派主要有： 行为派、认知派、社会文化历史学派、人本主义学派和建构主义学习理论。 （二）数学开放题教学的心理学理论基础。 1、教育与学生心理的发展的密切关系。 2、数学学习的内部与外部动力因素。 五、数学开放题教学的研究意义 1、有利于培养学生的发散思维、创造能力和创新意识，养成良好的思维品质，提高数学能力和问题解决的能力。 例1：尽量用多种方法在纸上画出一个直角。 解：按照一定的分类方法： 1)叠纸法； 2)工具画图：如三角板、量角器 ； 3)尺规作图：画一条线段的垂线； 4)利用三角形的性质：如等腰三角形三线合一； 5)利用四边形的性质：如菱形的两对角线互相垂直；