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学生也可以享受数学课的美 ——《利用函数性质判定方程实数解的存在》教学设计与反思 安徽省宿州市第二中学 柏长胜 2012年10月我校与江苏省南京化学工业园区数学名师工作室进行同课异构学术研讨活动，笔者有幸执教一节课《利用函数性质判定方程解得存在》（教材：北师大版，必修1第三章第一节），本节课笔者以新课标理念为指导；以维果茨基“最近发展区”理论、APOS理论、课堂教学金字塔理论等为参考；以问题解决作为课堂教学的推动力；采用“启发――探究――讨论”的教学模式；教学中巧妙地融入人文、数学史教育，对学生进行数学文化和人文熏陶，提高课堂教学的品味，收到了很好教学效果。现将本节课的设计、感想和反思整理如下，以期和同行交流探讨。 【教学目标】 知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在” 的判断方法，对新知识加以应用. 能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽像和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想. 情感、态度与价值观: 认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的； 培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；穿插数学文化和数学史，对学生进行人文教育和数学文化熏陶。让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点、方程的实数根和函数图像与x轴的交点三者之间的等价关系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 函数零点存在性定理的理解及初步应用 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 情境创设 在进行新课之前我们一起来温习一首古诗，宋朝大文豪苏轼在游玩庐山后写下了意境悠远、充满哲理的一首诗：《题西林壁》（师生一边欣赏庐山秀丽的风景照，一边一起背诵） 横看成岭侧成峰，远近高低各不同； 不识庐山真面目，只缘身在此山中。 这首诗告诉我们：对于同一个事物，从不同的角度观察会有不同的收获，只有运用辩证、联系的观点来分析事物才能把握其本质。 设计目的：情境的创设应为课堂教学服务，同时还应具备“真、善、美”的特点，应达到“山雨欲来风满楼”的效果和艺术性。通过本首图文并茂的古诗，既让学生重温本首诗的优美的意境，体会诗人思考问题的多角度、全面联系的观点，还直接为本节课的内容“函数零点问题”提供了解决思路。 知识探究（一）：方程的根与函数零点 我们今天就借助苏轼的一双慧眼 来分析一个数学问题. 问题1： 右图中我造一座“山”： 点（1,0）中的横坐标“1”，我们不妨从函数图像、函数、方程三个角度来看这座“山”，它会以怎样的秀丽身姿出现呢？（师生一起分析完成下表） 方程 函数 图像 方程的根： 实数1 方程的根： 实数-2和3 我们发现第一行图中的“1”既是方程 的根，还是函数为0时的自变量的值，还是函数的图像与x交点的横坐标。 第二行图中的“-2”和“3”既是方程 的根，还是函数为0时的自变量的值，还是函数的图像与x交点的横坐标。 我们还发现从方程角度看“山”是“方程的解（或根）”，从图像角度看“山”是“交点的横坐标”，唯独从函数角度看“山”还没有命名，现在请大家帮个忙，给它也起个名字好不？ 生：“零点！”，（因为许多学生有预习的习惯，可以马上想到） 师：为什么叫“函数的零点”呢？ 生：因为自变量取这个值时，函数值恰好为零。 师：“函数零点”这个名称非常妙，点出了事物的本质。同学们能否给出函数零点的定义？ 设计目的：新课的引入的问题设计要从学生的最近发展区出发，而在大班额的众多学生面前，很难寻找到恰当的、符合绝大多数学生的最近发展区，为了让更多的学生能参与到课堂教学，最好将多数学生的最近发展区再降一个台阶。学生对二次函数的图像和根的掌握情况，远不如对一次函数的图像和性质的认识深刻，且一次函数的图像和性质也完全具备函数、方程和零点的特征，故笔者以一次函数作为本节课的引入，然后再过度到二次函数情形，同时引导学生从函数、方程和函数三个角度观察交点的横坐标。到此，函数零点的含义已经呼之欲出了，只需学生稍加整理即可得到函数零点的定义。因此新课的引入应追求“未成曲调先有情”的艺术效果。 师生一起分析、总结得到： 函数的零点 我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。 思考1：既然可以从三个角度看待同一个问题，为什么从函数图像的角度来定义函数的零点呢？ 师：这是我们教材对新事物下定义的统一做法，如函数的单调性、奇偶性、周期性等等问题，都是尽可能地从其图像角度加以分析，目的是更直观、形象地分析一个问题。 思考2：