北京--函数的单调性（许云尧）.docVIP

课 题：函数的单调性 教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上） 授课教师： 北京景山学校 许云尧 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】 根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？ 预案：(1)函数，在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数，在整个定义域内 y随x的增大而减小． (2)函数，在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． (3)函数，在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小． 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数． 教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识． 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念 问题1：如图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ 学生的困难是难以确定分界点的确切位置． 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究． 〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明在上为增函数？ 预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为2232，所以在上为增函数． (2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增函数． (3) 任取,因为,即，所以在上为增函数． 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量． 〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫. 问题3：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义． (1)板书定义 (2)巩固概念 判断题： ①． ②若函数． ③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数． ④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数. 通过判断题，强调三点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数． 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法，适当延展 例1 证明函数在上是增函数． 1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． 证明：任取, 　　　　　　　设元 　　　　　　　 求差 　　　　　　　　变形　　 , 　　　　　　　　　　　　　　　　断号 ∴ ∴即 ∴函数在上是增函数．　　　 定论