北师大中考数学专题讲座由正方形构成的几何题北师大版.docVIP

初三中考复习—压轴题欣赏 同学们中考成功秘技《终极篇章》——考点37之压轴题欣赏来了！让我们一起来欣赏数学的美吧！只要你们能细心分析，中考24、25题定能被你摧毁，impossible is nothing！ 一、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。 （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13－1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13－2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。 （1）BE=CF。 证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°， ∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴BE=CF。 （2）BE=CF仍然成立。 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF全等，BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立。二、如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10，宽为4，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由。 ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2 ？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。 解：①结论：能。　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　 设AP = x cm， 则PD=（10－x）cm ∵ ∠A=∠D=90°，∠BPC=90° ∴ ∠DPC=∠ABP ∴ △ABP∽△DPC 则=，即 ∴ 4×4=x(10－x) 即 x 2 －10x＋16=0 解得 x1=2， x2=8。 ∴ AP=2cm 或8cm。 ②结论：能。 ∵ CE=2cm ∴ BE=10-2=8cm ∵ 四边形ABCD是矩形，∠HPF=90° ∴ AD∥BC ，∠HPF=∠A=90° ∴ ∠APB=∠EBP ∴ △BAP∽△BPE ∴ ，即 设AP = x cm 在Rt△ABP中， ∴ 解得 x1 =x2 = 4 ， 即 AP= 4 cm。 三、如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y。求y与x之间的函数关系式。 解：在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°， ∴∠PMN＝∠PNM＝45°， 延长AD分别交PM、PN于点G、H，过点G作GF⊥MN于F，过点H作HT⊥MN于T， ∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm， ∵MN＝8cm，∴MT＝6cm， 因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况： （1）当C点由M点运动到F点的过程中（，如图①所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，∴（） （2）当C点由F点运动到T点的过程中（），如图②所示，重叠部分是直角梯形MCDG，∵MC＝x，MF＝2，∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，∴（）； （3）当C点由T点运动到N点的过程中（），如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分是五边形MCQHG，∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2， ∴ （）。 六、图中的虚线网格我们称为正三角形网格，它每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积； （2）图①中□ABCD含多少个单位正三角形？□ABCD的面积是多少？ （3）求出图①中线段AC的长（可作辅助线）； （4）求图②中四边形EFGH的面积。 五、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。 （1）将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点是与AB的交点，求证： （2）将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），是与A