华北理工大学材料力学刘文增第五版第13章能量方法要素.ppt

§13.1 概 述 二、外力功 外力作用于变形固体，引起作用点沿作用方向位移而作的功称为外力功。 1、定义： 2、线弹性结构计算： 三、应变能 1、定义： 固体因发生弹性变形而储存的能量称为应变能或变形能。 2、计算： 第13章 能量方法 一、能量方法 以能量原理作为基础计算结构变形的方法称为能量方法。 1、轴向拉伸或压缩： §13.2 杆件应变能的计算 （1）等截面等轴力应变能： 或： （2）一般情况应变能： （3）应变能密度： 一、线弹性变形 2、纯剪切 应变能密度： 3、扭转 （1）等截面圆轴等扭矩应变能： （2）一般情况应变能： 4、弯曲 （1）等截面等弯矩： （2）一般情况： 5、外力形式应变能的统一表达式： F 称为广义力，在拉伸时代表拉力，在扭转或弯曲时代表力偶矩。 ? 称为广义位移，以F 对应的位移。 二、非线弹性变形 §13.3 应变能的普遍表达式 一、由外力及相应的位移计算应变能 （应变能只与外力和变形的最终值有关。） 按F1 …Fn按相同比例由0分别加至各自最终值的情况计算应变能： （这时各外力与相应位移之间成线性关系。） 这一结论也称为克拉贝依隆原理。 二、由内力计算变形能的表达式： 得： 2、非圆截面杆： 1、圆截面杆： §13.4 互等定理 一、功的互等定理 1、内容： 2、证明： 先作用第一组后作用第二组时的应变能： 先作用第二组后作用第一组时的应变能： 由 得： 得证。 二、位移互等定理 1、内容： 2、证明： 由功的互等定理可证。 §13.6 虚功原理 一、 虚位移及 虚功的概念： 满足边界条件； 满足连续性条件； 微小变形。 结构由于原有载荷作用以外的其他原因引起的位移称为虚位移。 2、虚位移性质： 1、虚位移的定义: 3、虚功的定义： 杆上的力由于虚位移而完成的功称为虚功。 二、虚功原理 给处于平衡状态的弹性体一微小虚位移，则外力在虚位移上所作虚功等于内力在相应的虚变形上所作虚功 。 2、虚功原理表述： 1、虚功原理数学表达式： 考虑微段各力的总位移： 分别考虑微段各力的刚性位移及变形： 由上两式的数值应相等得： 3、虚功原理的一般表达式： 4、虚功原理的适用情况： 可用于力与位移成非线性关系的结构。 §13.7 单位载荷法 莫尔积分 一、单位载荷法位移计算公式推导 问题：计算外力作用下结构A点aa方向位移?。 （1）确定一新的受力结构： 原结构A点aa方向作用单位力的受力结构。 （2）使新受力结构发生原结构外力作用下的位移的虚位移，虚功原表达式为： 结构内力记为： 为原有外力引起的变形。 1、位移计算基本公式： 3、一般弹性变形位移计算公式： 一般情况： 弯曲为主的杆件： 拉压杆件： 扭转杆件： 拉压杆系： 4、线弹性变形位移计算公式： 由： 得： 上列三式统称为莫尔定理，式中的积分称为莫尔积分。 二、用单位载荷法（莫尔积分）计算位移 1、步骤： 2、注意： （4）位移为正时位移与单位力方向一致，位移为负时位移与单位力方向相反。 （1）确定单位力及里受力结构： （2）列内力方程： （3）计算位移。 （1）单位力的确定： （2）原结构与单位力结构截面坐标对应。 （3）原结构与单位力结构弯矩正负规定一致。 解： 1) 求 ： （1）确定单位力及受力结构： （2）列内力方程： AB段： BC段： （3）积分计算位移： 2、求 ： （1）确定单位力及受力结构： （2）列内力方程： AB段： BC段： （3）积分计算位移： （ ） §13.8 计算 莫尔积分的图乘法 一、图乘公式 积分下面的函数也可是轴力或扭矩。 二、图乘法 用图乘公式计算莫尔积分的方法称为图乘法。 常见图形的面积计算公式及形心位置： 例13.15 求外伸梁A端的转角。 解： 1）作梁的弯矩图： 2）确定单位力结构作弯矩图： 3）图乘计算位移： 解： 1）作梁的弯矩图： 2）确定单位力结构作弯矩图： 3）图乘计算位移：