鱼类养殖及最优捕捞问题.doc

第一题 队员：姓名 班级 任务分工 陈阳 09级信科 建模、编程 苏杨 09级信科 编程、写作 董鸿昆 09级信科 建模、写作 鱼类养殖及最优捕捞问题 摘要：本文讨论了渔业养殖过程中鱼群数量和重量变化、获得最大捕捞量及利益最大化的问题。 针对问题一，鱼群数量和每尾鱼重量变化。鱼塘内鱼类的生存受外界环境制约，如生存空间、水质变化等，即阻滞系数。鱼群的实际减少率相对减少率阻滞系数，利用初始投放鱼苗量及鱼群的实际减少率，建立鱼群数量随时间减少的微分方程模型一，利用MATLAB软件求解析解，得出鱼群数量随着时间呈减少趋势（见文中图1）。鱼塘所能提供的生存资源有限，将此条件转化为鱼塘对鱼群总表面积的限制，鱼群数量与鱼表面积的乘积为常数，从而建立鱼重量随时间变化的微分方程模型二，并利用MATLAB软件求解析解。 针对问题二，捕获量最大。可持续捕获能力与捕捞强度是影响捕捞量的主要因素。可持续捕获能力即为进行捕捞时鱼尾数和鱼重量变化与时间的关系，考虑捕捞对实际减少率影响，建立关于最大捕捞量与鱼尾数和鱼重量变化关系的优化模型三，利用MATLAB软件作图对比，得出捕捞强度，捕捞时间与捕获量之间的动态关系。 根据模型三得出的最大捕捞量与鱼尾数变化数据，引入鱼塘养殖成本、捕捞成本及鱼类价格，建立时刻鱼塘支出与收益比较函数，建立以获得最大利润为目标函数的优化模型四，通过定性分析，达到在现实生活中指导鱼塘的捕捞问题的目的。 关键词： 微分方程模型 MATLAB 模型 阻滞系数 一、问题重述 渔业是一种可再生资源，但必须经过科学合理的开发利用，才能达到效益最大化和资源的可持续发展。现往一鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长以及外界环境的变化，鱼的尾数将会慢慢减少而每尾鱼的重量将会逐渐增加。 问题一，在此过程中，尾数的（相对）减少率为常数；由于养殖过程中的饲料喂养，引起每尾鱼的重量增加率与鱼的表面积成正比，鱼自身代谢消耗所引起每尾鱼的重量减少率与重量本身有关。在此条件下分别建立尾数和每尾鱼重量的微分方程模型，并求解。 问题二，当到达一定时间时，开始捕捞。用控制网眼大小的办法来捕捉达到一定表面积的大鱼，放过小鱼。捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作，那么单位时间捕获量是。如何选择捕捞时间和捕捞能力,使得从时刻开始捕捞时的捕获量最大，从而获得最佳效益。 二、问题分析 捕鱼策略不仅要求考虑经济效益,还要考虑鱼塘里鱼数量的可持续性，这是一个动态的分析过程。合理、简化的策略是在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。的（相对）减少率为常数，通过分析知，鱼群数量越少，尾数实际减少率越小，两者成正相关，即实际尾数减少率随鱼群数量的减少而减小，可类比于微分方程模型中的模型，进而建立尾数的微分方程。讨论此方程稳定点周边的单调性以及拐点情况，分析尾数随时间的变化趋势和走向； 每尾鱼重量的减少率和重量本身成正比，代谢消耗所引起每尾鱼重的减少率与重量本身成正比。从实际出发知，鱼塘可供生存的面积有限，可考虑将鱼尾数和鱼表面积的乘积视为鱼塘可供生存面积，且为一常数，由此可将鱼的表面积表示为尾数和鱼塘可供生存面积的关系式，当鱼数量达到稳定值时，鱼的表面积也达到稳定状态，再根据已知条件，列出微分方程并讨论方程稳定点周边的单调性以及拐点情况 2.2 问题二中捕捞时间和捕捞能力的分析 捕捞时间和尾数以及鱼表面积紧密相关，经分析，最大捕获量是单位时间捕获量与鱼重量乘积的积分，因此必须考虑两方面因素的制约。采用控制网眼的办法放过小鱼，捕走大鱼之后，相对于剩下的小鱼来说，生存空间增大，其表面积的增长率会增加，从而实现可持续收获的目的。捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作，单位时间捕获量是，找出单位时间捕获量和鱼重量是解决问题的关键。 三、模型假设 1.鱼在任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程； 2.鱼群死亡率已考虑种群的相互竞争及外界环境（如水质变化）等因素； 3.鱼群数量变化随时间连续可微的； 4.每尾鱼在任何相同时间段内的表面积变化和自身消耗相同，即每尾鱼的重量变化率相同； 5.鱼塘的可供生存面积为定值； 6.最初投入的鱼苗重量可近似看做0； 7.捕捞强度对每尾鱼重量增长率的影响可忽略不计。 四、符号约定 符号 意义 时刻每尾鱼的表面积 （常数） 鱼塘的可供生存面积 鱼群的实际减少率 时刻每尾鱼的重量 （常数） 每尾鱼重量增加率与鱼表面积的比例系数 （常数）