４三角函数与解三角形.doc

【2013考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性. 4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换 【知识络构建】 【重点知识整合】 一、三角恒等变换与三角函数 1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:, ,三者中,知一可求二; 2.函数的问题: (1)“五点法”画图:分别令、、、、，求出五个特殊点； (2)给出的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是,一般从“五点法”中取靠近轴较近的已知点代入突破; 二、解三角形 1．正弦定理 已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)． 2．余弦定理 已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝，另外两个同样． 3．面积公式 已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则 (1)三角形的面积等于底乘以高的； (2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝(其中R为该三角形外接圆的半径)； (3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r； (4)若p＝，则三角形的面积S＝. 【高频考点突破】 考点一 三角函数的概念、诱导公式 1．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．对于形如2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号；对于形如±α，±α的三角函数值，等于角α的余名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号． 例1、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝_______. 【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单； 2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件. 考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间： y＝sinx的递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)； y＝cosx的递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)， 递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)． 例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋. (1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域． 【变式探究】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()f(π)，则f(x)的单调递增区间是 (　　) A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z) C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z) 解析：因为当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f()＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． 答案：C 【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解． (2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈(k∈Z)．值得注意的是，若ω0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再用换元法求单调