不动点定理.docx

不动点定理在经济学中的应用数本1301 王敏摘要 不动点定理是拓扑学中很著名的定理，从一维到多维空间都保持这一性质。其次，在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用，比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。关键词：不动点、博弈论、纳什均衡不动点定理 定义1：设是一个拓扑空间。如果中有两个非空的隔离子集和，使得，则称是一个不连通空间；否则，称是一个连通空间。 引理1：设是一个连通空间，是一个连续映射，则是中的一个区间。 引理2:（介值定理）设是闭区间到实数空间的一个连续映射，则对于和之间的任何一个实数，存在使得。 定理：（不动点定理）设是一个连续映射，则存在使得。 证明：如果或者，则定理显然成立。下设，。定义映射使得对于任何有。容易验证是一个连续映射，并且这时又和。因此根据介值定理可得存在,使得,即。布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得。这个定理表明：在高维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的，即 映射是一个连续映射，其中是维闭球体，则存在z，使得。博弈论和纳什均衡博弈论又被称为对策论，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。一般认为，博弈主要可以分为合作博弈和非合作博弈。经济学家们所谈的博弈论一般是指非合作博弈，由于合作博弈论比非合作博弈论复杂，在理论上的成熟度远远不如非合作博弈论。非合作博弈又分为：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。与上述四种博弈相对应的均衡概念为：纳什均衡，子博弈精炼纳什均衡，贝叶斯纳什均衡，精炼贝叶斯纳什均衡。纳什均衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优反应。在经济学中这样定义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡；在数学中这样定义：在博弈中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合中任一博弈方的策略是对其余博弈方策略的组合的最佳对策，也即对任意都成立，则称为的一个纳什均衡。不动点理论在经济均衡理论中的应用下面，我们通过不动点定理来证明纳什均衡的存在性，该方法是由Myerson在1991年给出的。 定理：任何一个战略式表述的有限博弈都至少存在一个混合博弈纳什均衡。 证明：令是任—战略式表述有限博弈，即 显然，是一个有限维向量空间的一个非空有界闭凸子集 (是有限博弈，局中人数和每个中的元素个数是有限数)。 任给和任一局中人,令 即是局中人i在中对其余局中人独立混合战略组合的最 优反应混合战略。是上所有的概率分布组成的集，且使得对每一个满 足的有。， 任给令， 显然， 故，所以是凸的。 根据，因为是有限集，故存在某个k使 即是非空的。令，则 即， 故非空。 下面构造对应R，它将中的点映射于中的子集，满足： 由于对每一个，都是非空凸集，显然也是非空 凸集。下面我们来证明R是上半连续的。 假设都是收敛序列 且。 为了证明R是上半连续的，我们将需要证明。 因为有 显然期望效用函数是上的连续函数，故有 ， 因此，对于每一个i有，故。 所以R是到自身上的一个上半连续对应。 根据不动点定理，存在中的某个混合战略组合使,即对于 每一个i有，因此就是的一个（混合）纳什均衡。参考文献：[1]熊金城.点集拓扑讲义.北京：高等教育出版社.2011（第四版） [2]mvmmvmmvm.纳什均衡的存在性及多重性.百度文库 : /view/12326bf69e31433239689341.html.2010-08-22