几何画板与分形.docx

几何画板迭代与深度迭代迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。?初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们知道，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，以此类推。在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。上图中A、B、C、D、E、F，各点相距1.88cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1.88cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。利用几何画板的深度迭代功能可以画出许多美妙的分形图形，并以几何画板为基础来研究分刑图形面积，周长的变化。谢尔宾斯基三角形利用几何画板画法流程：（1）先任意画好一个三角形ABC，接着构造线段AB，BC，CA的中点D，E，F，选择点D，E，F，再选择菜单“构造”、“三角形内部”。(2)在“图表”中“新建参数”为n=3．依次选择点A，8，C和参数n，按住shift键不放后选择“变换”中的“深度迭代”。(3)在初象中依次选A，D和F点，再添加新的映射(按Ctrl+A)，映像2中依次选D，B和E点，再按Ctrl+A，依次选F，E和C点。最后选“迭代”，得到谢尔宾斯基三角形。选择n按“+”或“一”，三角形就进行了迭代变化。n=1n=2n=3n=4n=5随着有色三角形越来越多，空白三角形越来越少。我们若用有色三角形表示去掉的部分,，则剩下的面积可能趋向于0，而剩下部分的周长呢,，设分形级数为n，初始边长为1,新产生的小三角形数量为,②一个新小三角形边长为,1③谢尔宾斯基三角形周长为,④谢尔宾斯基三角形面积为;⑤当n→∞时,显然其周长趋向于无穷大, 面积趋向于零。著名的埃菲尔铁塔正是以它作为平面图的. 因为这种三角形结构可以节省材料而且强度大, 虽然铁塔并没有把分形进行到无穷, 但是它已经能在这种条件下完成了重力的转移, 充分体现了这项工程的精彩, 同时也显示了谢尔宾斯基三角形无尽的魅力.分形树分形树制作流程：(1)画好线段AB，取中点C，双击B点，以B为旋转中心将C旋转120。得E点，旋转一120。得D点。(2)新建参数n=3，依次选点A，B和n，用“深度迭代”将，B映射到B，E和B，D就可以了．然后可以改变参数，观看分形树的生长。n=2n=3n=101.在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。2.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量CBA的大小。3.双击C点作为旋转中心，旋转角度为CBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。4.双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。5.新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。n=2n=3n=4n=5毕达哥拉斯树【步骤】1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，接CE，DE。隐藏不必要的对象。2．填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3.新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，(A,B)(D,E),(E,C)。n=3n=4n=5n=10n=20L—分形树1、构造初始元作始元竖直线段AB，在AB上作两点A1，A4，以A1为中心分别按角度36度旋转B得到B1，按角度126度旋转A4得到B4，以B为中心分别按角度-171度旋转A1为B2，按角度144度旋转A1为B3，连接A1B1、BB2、BB3、A4B4、得到以下生成元生成元2、删除生成元中的四枝杈线段，显示出初始元AB，新建参数n=5，以n为深度，将生成元A—B分别在A1—B1，B—B2，B—B3,A4—B4上执行深度迭代，隐藏各点得到L—分形树。n=6（L—分形树）以上方法所作的分形树是线性（自相似）分形树，其变换是相似变换，属于确定型L—分形，不能得到生动逼真的植物拟态图形。要模拟出栩栩如生的植物形态，就要引入随机L—分形。作始元做初始元竖直线段AB和线段CD，在CD