计算机图形学第六章.ppt

6.1 几何造型技术 几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。 描述物体的三维模型有三种: 线框模型、曲面模型和实体模型。 6.1 几何造型技术 1.线框模型用顶点和棱边来表示物体。 （1）由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体； （2）它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部或表面上）。 2.表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。 （1）表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。 （2）但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。 （3）也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。 6.1 几何造型技术 3.实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无 歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是 最高级的模型。这种模型能够进一步满足物性计算、 有限元分析等应用的要求。 4.三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它 能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的 地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它 的基础。 6.1 几何造型技术 几何造型的历史 曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、Pierre Bézier、汽车外形设计的UNISURF系统。 实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。 独立发展起来，又合二为一。 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设计系统 6.2 参数曲线和曲面 6.2.1 曲线曲面参数表示 显式表示: y=f（x） 隐式表示: f（x，y）= 0 参数表示: P(t)=[x(t), y(t), z(t)] 6.2 参数曲线和曲面 参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为： 空间曲线上任一三维点P可表示为： 6.2 参数曲线和曲面 参数表示的优点： （1）以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 （3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 6.2.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]； 切向量(切矢量) 选择弧长s作为参数，则 是单位切矢量 根据弧长微分公式有： 于是有 ，即为单位矢量 法矢量 与 平行的法矢量称为曲线在该点的主法矢量N 矢量积 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢量称为曲线的副法矢量。 我们可以推导出： T(切矢量)、N(主法矢量)和B(副法矢量)构成了曲线上的活动坐标架 N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。 曲率和挠率 即 称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。曲 率k的倒数 称为曲率半径。 挠率 ? 的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率. .对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的计算公式如下： 6.2.3 插值、拟合、逼近和光顺 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲线。 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。 光顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是： a. 具有二阶几何连续性(G2)； b. 不存在多余拐点和奇异点； c. 曲率变化较小。 6.2.4 参数化 过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条，这是因为对应地参数t, 在[0, 1]区间中有无数种取法。即P0、P1和P2可对应不同的参数值，比如 其中每个参数值称为节点(knot)。 参数化常用方法有： 均匀参数化(等距参数化) 节点在参数轴上呈等距分布，