教材梳理(二 用数学归纳法证明不等式.doc

庖丁巧解牛 知识·巧学 一、数学归纳法证明不等式的基本步骤 （1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等等）时，命题正确； （2）证明如下事实：假设当n=k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确. 完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确. 用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明. 辨析比较 数学归纳法与其他证明不等式的方法 数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段. 二、数学归纳法证明不等式的重点和难点 1.重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路. 2.难点：在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），即假设f(k)g(k)成立，证明f(k+1)g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用. 误区警示 数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点： （1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征； （2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置； （4）有的试题需要先作等价变换. 三、数学归纳法证明不等式的运用范围 数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段. 联想发散 在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？ 典题·热题 知识点一： 命题的结构特征 例1 求证：,n≥2,n∈N. 思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了,共三项，而不是只增加一项. 证明：（Ⅰ）当n=2时，右边=+++，不等式成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k∈N)时命题成立，即. 则当n=k+1时， = . 所以当n=k+1时，不等式也成立. 由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立. 误区警示 错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征. 例2 已知，Sn=1++++,n∈N， 用数学归纳法证明：1+,n≥2,n∈N. 思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k项，而不是只增加了这一项，否则证题思路必然受阻. 证明：（Ⅰ）当n=2时，=1+++=1+1+， ∴命题成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k∈N)时命题成立，即 =1++++. 则当n=k+1时， =1++++ 1+ 所以当n=k+1时，不等式也成立. 由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N均成立. 方法归纳 本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况. 知识点二： 比较法 例3 求证：1++++≥. 思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明