江苏省大丰中学数列综合题选讲苏教版.docVIP

高考中的数列综合题选讲 1.（2006陕西文、理）已知正项数列，其前n项和Sn满足10Sn=＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列，求数列的通项an. 解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－10 , ∴an－an－1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3. 2.（2007山东理）设数列满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=. (Ⅰ)求数列的通项； （Ⅱ）设bn=，求数列的前n项和Sn. 解: (I) 验证时也满足上式， (II) ， ， 3.（2006全国Ⅰ卷理）设数列的前项的和，， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明： 解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2. 再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,… 将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, … 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …, (Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1) Tn= = × = ×( － ) 所以, = － ) = ×( － ) 4．（2005湖北文）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn. 解：（1）：当 故{an}的通项公式为的等差数列. 设{bn}的公比为 故 （II） 两式相减得 5.(1994全国文)设数列｛an｝的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有证明｛an｝是等差数列.d=a2－a1. 下面用数学归纳法证明an=a1+(n－1)d(n∈N). (1)当n=1时上述等式为恒等式a1= a1. 当n=2时，a1+(2－1)d= a1+( a2－a1)= a2，等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立，ak=a1+(k－1)d.由题设，有 Sk=，Sk+1=，又Sk+1= Sk +ak+1 ∴(k+1) 把ak = a1+(k－1)d代入上式，得 (k+1)( a1+ ak+1)=2ka1+k(k－1)d+2ak+1. 整理得(k－1)ak+1=(k－1)a1+k(k－1)d. ∵ k≥2，∴ ak+1= a1+kd.即当n=k+1时等式成立. 由(1)和(2)，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列. 证法二：当n≥2时，由题设， ，. 所以an= Sn－Sn－1= － 同理有 an+1= －. 从而an+1－an=－n(a1+an)+ ， 整理得 an+1－an= an－an－1=…= a2－a1 从而{an}是等差数列. 6.（2006福建文）已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式； （Ⅲ）若数列满足证明是等差数列。 （I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列。 （II）解：由（I）得 　　 （III）证明： 　　　　　　　　 ① 　　② ②－①，得 即　　　　　③ 　　　　　④ ④－③，得 即 是等差数列。 7．（2004全国Ⅰ卷理）已知数列，且 a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…. （I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式. 解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k,