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海门市2008年暑期新教师招考试题中学数学 一、填空题(本题14小题，共计42分) 1．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n－≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是___________. 2.矩阵的特征值是 ______。 3.已知向量，则与的夹角为 _____. 4.在等式“1= + ”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是 _________. 5．已知，则复数 _______. 6. 已知伪代码如图，则输出结果S=_，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程 为 __________________________. 8.若，则 ____ 9．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程 为，则双曲线的离心率为 __________. 10．已知定义在实数集R上的偶函数在区间上的单调增函数，若，则x的取值范围是 ______________ . 11．在中，已知，则为 ________三角形. 12．用三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形上涂一种颜色，则3个矩形颜色都不同的概率是 ______. 13.老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师，一个是职员，一个是工人，一个是干部，还知道（1）张、刘为邻居，每天骑车上班；（2）老刘比老李年纪大；（3）老张教老赵打太极拳；（4）教师每天步行上班；（5）职员的邻居不是干部；（6）干部和工人不认识；（7）干部比职员和工人年纪都大，那么他们的职业按职员、工人、干部、教师的姓氏排列为____________________. 14. 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－12)+ f(－11)+ f(－10)+…+ f(0)+…+ f(11)+ f(12)+ f(13)的值为________. 二、解答题（本题6小题，共计58分） 15.如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． (1)试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m． 16.已知函数． （Ⅰ）求曲线，在处的切线的方程； （Ⅱ）若方程有解，求a的取值范围． 17．如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体． （1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）； （2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）； （3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比． 18.设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“”， 使得 证明：如果a与b属于S，那么也属于S. 证明：结合律成立. 19.如图，过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦，若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，则称点为该椭圆的“左特征点”．（1）：求椭圆的“左特征点”的坐标；（2）：试根据（1）中的结论猜测：椭圆的“左特征点”是一个怎样的点？并证明你的结论． 20.关键词：数学作文 理论背景：从2000年开始，我国已把“探索型课题学习”列入教学计划，并规定了教学时间。2001年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中，提出了“数学作文”这个概念，它类似于国外学生做的“Project”，结合我国的实际，“数学作文”是“探索型课题”研究过程和结果的展现形式。它不同于严格意义上的数学论文，它是数学“双基”的延伸。通过数学作文能够对数学基础进行整理，上升为更加理性的认识。 请你用200-300字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。（注意：数学语言的运用） 参考答案 1． 2．4，-2 3． 4．4，12 5．12-5i 6．20 7 8．（-1，3）9． 10. 11. 等腰或直角 12. 13. 张职员、刘工人、赵干部、李教师 14. 15. （1）（2）1分钟 16. （1） （2）17. 解（1）如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD； （2）如四面体B1-A