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球面距离的计算经典范例 　　　1．位于同一纬度线上两点的球面距离 　　例1? 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离． 　　分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离． 　　解? 作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面． 　　∴与为纬度，为二面角的平面角． 　　∴（经度差）． 　　△中，． 　　△中，由余弦定理， 　　 　　　　． 　　△中，由余弦定理： 　　， 　　∴． 　　∴的球面距离约为． 　　2．位于同一经线上两点的球面距离 例2? 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3） 　　解? 经过两地的大圆就是已知经线． 　　，． 　　3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离 例3? 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4） 　　解? 设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，． 　　△中，由纬度为知， 　　∴， 　　　． 　　△中，， 　　∴， 　　∴． 　　注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式． 　　（为经度差） 　　　　 　　　　． 　　△中， 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　． 　　∴． 　　∴的球面距离约为． 球面距离公式的推导及应用 球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。 地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30o为经度α=-30o，南纬40o为纬度β=-40o ），这样简单自然，记球面上一点A的球面坐标为A（经度α，纬度β），两标定点，清晰直观。 设地球半径为R，球面上两点A、B的球面坐标为A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-，]，如图，设过地球O的球面上A处的经线与赤道交于C点，过B的经线与赤道交于D点。设地球半径为R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。 另外，以O为原点，以OC所在直线为X轴，地轴所在直线ON为Z轴建立坐标系O-XYZ（如图）。则A（Rcosβ1,0,Rsinβ1）,B(Rcoscos（α1-α2）,Rcosβ2sin（α1-α2）,Rsinβ2) cos∠AOB =cos〈OA，OB〉=cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2 ∠AOB=arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2] 其中反余弦的单位为弧度。 于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式： =R·arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2] （I） 上述公式推导中只需写出A，B两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。 由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB，只需两点的经纬度即可。 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B两点的经度或纬度相同时，有： 1、β1=β2=β，则球面距离公式为： =R·arcos[cos2βcos（α1-α2）+sin2β] （II） 2、α1-α2=α，则球面距离公式为： =R·arcos（coscosβ2+sinβ1sinβ2）=arcoscos（β1-β2）R，A在东经20o，求B点的位置。 分析：α1=20o，β1=β2=45o，由公式（II）得： R= R·arcos[cos245ocos（20o-α2）+sin245o] cos= cos（20o-α2）+ ∴cos（20o-α2）=0, 20o-α2=±90o即：α2=110o或α2=-70o 所以B点在北纬45o，东经110o或西经70o 球 1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________． 由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径，∴ ．球体积 2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A、B，A、B的球面距离是________（设地球半