用数学方法解物理极值问题.docVIP

东北师范大学远程与继续教育学院 网络教育本科毕业论文 题 目 　　　　　 学生姓名 　＿ 　 专 业 年 级 学习中心 学 号 联系电话 ________________________ 指导教师 　 年 月 日 例析用数学知识求解物理极值问题 吕春景 临洮县窑店中学 摘 要：物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为中生学习物理的难点。随着高考改革的深入及素质教育的全面推，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活结合，将会拓展解决物理极值问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。物理极值问题数理结合一、用二次函数求极值 用二次函数极值公式求极值对于典型的一元二次函数,(a ≠0) 若, 则当 时 ,y 有极小值，为 ； 若 , 则当 时 ,y 有极大值，为。 例 1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s 2 的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 汽车做匀加速运动二次函数极值公式求极值解：经过时间 t后，自行车做匀速运动，其位移为， 汽车做匀加速运动，其位移为： 两车相距为： 这是一个关于 t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。 当 ΔS有最大值。 （二）利用一元二次方程判别式求极值 对于二次函数，可变形为一元二次方程 用判别式法 即： 则由不等式可知 y的极值为： 对于例题 1，我们可以转化为二次方程求解。 将 可转化为一元二次方程： 要使方程有解，必使判别式 解不等式得： ，即最大值为6m ，静止的原子被碰后的速度为。??? 由动量守恒定律有 (1)??? 由能量守恒有 (2)??? 在以上两个方程中，有三个未知数，υ1、、，一般的同学认为少一个方程，难以求解。但由（1）式解出代入（2）??? 可得：??? 进一步整理可得：(M+m)m-2m2υ1+(m-M)mυ12+2ME=0??? 此式是关于的一元二次方程，因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式B2-4AC≥0 即??? 4m4-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0??? 根据上式整理可得：??? 所以电子必须具有的最小的初动能是 例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为R，速率为υ。 ?? ??? 由正交分解可得??? 联立（1）、（2）试可得 ??? 上式有υ、R两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。因为υ有实数解，由B2-4AC≥0??? 即 ??? ∴小球作圆周运动的最小半径为 例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为υ0，求υ0与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程Xmax。分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。??? ??? 上式为关于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在实数解，则判别式B2-4AC≥0??? 即 ??? 解出结果后，我们可联系实际进行如下验证。设出手高度h=0,??? 则??? θ=45°。这就是我们过去曾经知道的一个物体做斜抛运动，当θ=45°时其射程最远。 （三）利用配方法求极值 对于二次函数 ，函数解析式经配方可变为 (1)若a0时，当 时，y有极小值为 (2)若a0时，当 时，y有极大值为 对于例题 1还可用配方法求解。 利用不等式求极值 如果a，b为正数，那么有： ，当且仅当a=b时，上式取“=”号。 推论：