辅导讲座数学六讲：立体几何.docVIP

竞赛试题选讲之六：立体几何 一、选择题部分 1. （2006吉林预赛°，则这样的直线l的条数为 （ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3 2.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为（B） A. 1 B .2 C. 3 D .4 3．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式 （ ） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数 解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。 4．（2006年江苏）过空间一定点的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有（C） A．0条 B．1条 C．4条 D．无数多条 5.（2006天津）已知为四面体的侧面内的一个动点，且点与顶点的距离等于点到底面的距离，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 （ D ） A．圆或椭圆　 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆 6．（2006年南昌市）四棱锥的底面是单位正方形(按反时针方向排列),侧棱垂直于底面,且＝,记,则＝（C） A． B． C． D． 7．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是： (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形； 下述选项正确的是（B） A．(1)(2)(5) B．(1)(2)(4) C．(2)(3)(4) D．(3)(4)(5) 【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。 选 【 B 】 8．(2005全国)如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ） A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，为定值 C．S与均为定值 D．S与均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个 ，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值. 当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B. 9.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C） A．2006 B． C． D．. 解： 正2n边形，对角线共有 条. 计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C. 10．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条. 解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线， 共，其中所有的棱都在原立方体的表面， 有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以 连条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此 之外的直线都在原立方体的内部. 二、填空题部分 1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为,则的最大值为__. 2．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的