重庆市双江中学高三数学数列专题练习.docVIP

高三5，6班数列专题练习 姓名___________________ 1.在等差数列中，，前项和满足条件， （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和。 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。 （Ⅱ）由，得。所以，当时，；当时，， 即。 2.各项均为正数的数列，满足：，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数． 解：（1）条件可化为，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以＝…………1(; 因an(0，由1(式解出an＝…………2(; （2）由1(式有Sn＋Tn＝＝＝ 为使Sn＋Tn＝为整数，当且仅当为整数.当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，当n(3时，＝ ＝; ∴ 只需＝为整数，因为3n－1与3互质，所以为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9. 3.列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，…，则称 为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （Ⅱ）若“绝对差数列”中，,，数列满足；时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. （Ⅰ）解：,（答案不惟一） （Ⅱ）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限；不存在. 当时, ,所以（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下： 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时, ; 当 时, ； 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与();矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项. 4 .知数列{ }、{ }满足：.(1)求; (2)求数列{ }的通项公式；(3)设，求实数a为何值时恒成立． 解：（1) ∵ ∴ （2）∵ ∴ ∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ∴ ∴ (3) ∴ ∴ 由条件可知恒成立即可满足条件设 a＝1时，恒成立, a1时，由二次函数的性质知不可能成立 al时，对称轴 f(n)在为单调递减函数． ∴ ∴a1时恒成立 综上知：a≤1时，恒成立 5.知二次函数满足条件：① ； ② 的最小值为.(1) 求函数的解析式；(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式；(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小? 求出这个最小值。 解： (1) 由题知: , 解得 , 故. ………3分 (2) , ,, 又满足上式. 所以. (3) 若是与的等差中项, 则, 从而, 得. 因为是的减函数, 所以当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为; , 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为. 又, 所以, 即数列中最小, 且. 6.为锐角，且，函数，数列{an}的首项. ⑴ 求函数的表达式； ⑵ 求证：； ⑶ 求证： 解：⑴ 又∵为锐角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴ 7.数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明： 解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。 ， （2）， ① ② ②—①得，即③④ ④—③得，即 所以数列是等差数列 （3）设，则 8.知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）若则当n≥2时,. 解(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时, 因为0x1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0x1, 由,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)g(0)=0. 因为,所以,即0,从而(Ⅲ) 因为 ,所以, , 所以 ————① , 由(Ⅱ)知:, 所以= ,因为, n≥2, 所以 =————② .由①② 两式可知