2-3-3_列不定方程解应用题题库教师版.doc

熟练掌握不定方程的解题技巧 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 学会解不定方程的经典例题 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解 模块一、不定方程与数论 把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数． 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为和，则有：，要让取最小值，取最大值． 可把式子变形为：，可见是整数，满足这一条件的最小为7，且当时，． 则拆成的两个数分别是和． 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？ 设甲搬的是块，乙搬的是块．那么．观察发现和都是的倍数，所以也是的倍数．由于，所以只能为6或12． 时，得到； 时，此时不是整数，矛盾． 所以甲搬了块，乙搬了块，甲比乙搬得多，多块． 现有足够多的角和角的邮票，用来付元的邮资，问角的邮票需要多少张？ 设角和角的邮票分别有张和张，那么就有等量关系：． 尝试的取值，当取时，能取得整数，当再增大，取大于等于的数时，没有自然数解．所以角的邮票需要张． （2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________. 若是四位数，则，矛盾，四位以上的自然数也不可能。 若是两位数，则，也不可能，故只有三位数. ，化简得.由于， 所以或.时，，，或，；时，，. 所以所有自然数之和为. 模块二、不定方程与应用题 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？ 设有大油桶个，小油桶个．由题意得： 可知，所以．由于、必须为整数，所以相应的将的所有可能值代入方程，可得时，这一组整数解． 所以大油桶有个，小油桶有个． [小结] 这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解. 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以，让冬冬把自己命中的次数乘以，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？ 设丁丁和冬冬分别命中了次和次，则：．可见除以4的余数为3，而且不能超过6，所以，．即丁丁命中了次，冬冬命中了次． 某人打靶，发共打了环，全部命中在环、环和环上．问：他命中环、环和环各几发？ 假设命中10环发，7环发，5环发，则由⑵可知除以5的余数为3，所以、9……如果为9，则，所以只能为4，代入原方程组可解得，．所以他命中环发，环发，环发． 某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？ 设参加的男宾有人，女宾有人，则由题意得方程：，即，化简得．这个方程有四组解：，，和， 但是由于有的成人带着孩子，所以能被整除，检验可知只有后两组满足． 所以，这个活动共有人或人参加． 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？ 因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是的倍数．设男职工有人，女职工有人． 则职工总人数是人，孩子是人．得到方程：，化简得：．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当时，；当时，；当，．其中只有是的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工． 张师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，李师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，两人天共缝制上衣和裙裤件，那么其中上衣是多少件？ 如果天都缝制上衣，共可