七数培优竞赛讲座第4讲__数轴数与形的第一次碰撞.doc

第四讲 数轴——数与形的第一次碰撞 数缺形时少直观，形缺数时难入微。 ——华罗庚 知识纵横 为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型．数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象． 数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来． 数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想． 利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在： 1．运用数轴直观地表示有理数； 2．运用数轴形象地解释相反数； 3．运用数轴准确地比较有理数的大小； 4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题． 例题求解 【例1】(1)数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是－2，且A、B两点的距离为3，那么点B对应的数是 ． (第十七届) (2)点A、B分别是数－3和在数轴上对应的点AB沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是 ，点A移动的距离是 。 (第十六届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)确定B点的位置；(2)在平移的过程中，线段AB的长不变，即AB=. 【例2】 如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是( ) ． A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 利用数轴提供的信息，求出AF的长度． 【例3】如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果，试确定原点O的大致位置。 （江苏省竞赛题） 思路点拨 化简等式，而是解题的关键。 1．有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求． 从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括： (1)数轴上的点所表示的数是正负性； (2)数轴上的点到原点的距离． 2．字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予宇母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程． 纯粹的代数的方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚而简单化． 最佳位置 【例5】 问题情境 如图乙，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离。而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的。因此P放在A2处是最佳选择。 不难知道，如果直线上有4台机床，P就设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。 问题（1）：有n台机床时，P应设在何处？ 问题（2）：根据问题（1）的结论，求的最小值。 以这条直线画数轴，n个供应站是在数轴上的n个点，这些点表示的有理数分别是a1，a2，a3，…，an。 问题转化为：在数轴上找一点P，其表示的有理数为x，当x取何值时，y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|取得最小值。由上面的讨论或绝对值的几何意义可得： （1）当n为偶数时，若时，则y的值最小；当n为奇数时，若时，则y的值最小。 （2）即在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点距离之和最小。当x=309时，原式的值最小，最小值是：|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-616|+|309-617|=308+307+…+1+2+…+308=95172。 【例6】某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校；一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑调动的总台数最小，应做怎样的安排？ （湖北省荆州市竞赛题） 分析与解 通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示，解题的关键是怎样将实际问题转化为求的最小值。 如图，用A、B、C、D、E顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给x1、x2、x3、x4、x5台电脑，依题意得7+