千题百炼高考数学100个热点问题(一)第23炼恒成立问题数形结合法Word版含解析.doc

第23炼 恒成立问题——数形结合法 一、基础知识： 1、函数的不等关系与图像特征： （1）若，均有的下方，均有的方在上恒成立，则实数的取值范围是_________ 思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出的图像观察图像可得若要使不等式成立则的图像应在的上方所以应为单增的对数函数即时不等式成立只需保证在时即可代入可得，综上可得 答案： 小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。 （2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的） （3）处理好边界值是否能够取到的问题 例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________ 思路：本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，，即，所以 答案： 例3：若不等式对任意恒成立，求的取值范围 思路：恒成立不等式变形为，即的图像在图像的上方即可，先作出的图像，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关。通过观察图像，可得只需，解得： 答案： 小炼有话说：在本题中参数的作用是决定图像平移变换的程度要抓住参数在图像中的作用从而在数形结合中找到关于参数的范围要求,不等式恒成立,则的取值范围是______ 思路：本题中已知的范围求的范围，故构造函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为 ,设,即关于的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或 答案：或 小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。 （2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。 （3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧 例5：已知函数，若对任意的都有成立则实数的取值范围是，如果进行参变分离虽可解决问题但是因为所在区间含参的取值将决定分离时不等号方向是否改变要进行分类讨论较为麻烦换一个角度观察到是开口向上的抛物线若要只需端点处函数值小于零即可无论对称轴是否在区间内所以只需 解得 小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若，则而是开口向上的抛物线最大值只能在边界处产生所以再解出的范围即可，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____________ 思路：首先理解条件，即时，不等式恒成立，可判断出函数为奇函数，故先作出的图像，即，参数的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论：当时，单调递增，且为向左平移个单位，观察图像可得不存在满足条件的，当时，开口向下，且为向右平移个单位，观察可得只需，，即可保证，的图像始终在的下方。解得：；当时代入验证不符题意 小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系 （2）注意函数奇偶性对作图的影响 （3）本题中参数扮演角色二次项系数决定抛物线开口.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 思路：所证不等式可转化为，作出的图像，当时的取值的开口，观察可得，且时，即可， 当时，不等式为，可证明其成立 答案： 小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。 例8：设，若均有_________ 思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解的值（或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。将两个因式设为函数：，，则在图像上要求这两个函数同时在轴的上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点，且为开口向上的抛物线。所以的斜率必大于0，即，通过观察图像可得：与与轴的交点必须重合。，所以，解得：（舍）或 答案： 小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。 （2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。 例9：(2015山东烟台高三一模）已知，不等式在上恒成立则实数的取值范围是 B. C. D. 思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是与很难确定其范围从而与无法化成解析式图像看是否存在解题的突破口通过图像可以看出虽然是分段函数但是图像连续且单调递减所以是上的减函数那么无论与位于哪个区间由及单调性均可得到，所以解得 是定义在上的奇函数当时 ，若则实数的取值范围是思路：是奇函数且在时是分段函数