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复、实变函数的 比较与应用 作 者：阮玲花 学 号：201310401205 专 业：数学与应用数学 复、实变函数的比较与应用 姓名：阮玲花 班级：数学132 学号：201310401205 数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。 在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→”,在实数范围内：当方程判别式小于0时，没有实根。→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 （一）实变函数 实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。 Lebesgue积分： （二）复变函数 复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集，对于的每一点z，按照一定规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称为z的函数，记作，z∈ 邻域：以复数为圆心，以任意小正实数为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为的邻域。把复变函数的的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y)，=u(x,y)+iv(x,y)，所以，复变函数可以归结为一对二元实变函数。 （三） 实变函数及与复变函数比较 1．自变量的不同 以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。 2.实变函数与复变函数的联系区别 因为z=x+yi,所以复变函数y=的实部与虚部都是x,y的函数，即=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。然而同时，由于复变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。 3．复变函数与实变函数关于导数概念的叙述是相似的，即都是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数，它们的联系也是密切的，区别则是整个取值的差异。复变函数在复数域中取值，实变函数在实数域内取值，但两种微分的几何意义是相同的。对于微分的性质，实变函数与复变函数有以下三大点的不同。 （1）微分中值定理 微分中值定理是微分学的重要内容，表现形式一般为柯西中值定理，罗尔中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在复数域中是不成立的。我们以罗尔定理来举例证明。 罗尔定理：若函数满足：①在闭区间上连续；②在开区间内可导，且；则必存在，使得。 证明：取，在整个复平面上解析，且，但，无论取什么值都不会为零，也就是说罗尔定理的结论对函数不成立。 故微分中值定理不能直接推广到复变函数中来。 （2）解析函数零点的孤立性 在《复变函数论》中，区域D内点可微的复变解析函数的零点总是孤立的。而实变函数体现出的性质则截然相反。 例1：如在||R内的解析函数不恒为零，a为其零点，则必有a的一个邻域，使得在其中无异于a的零点（不恒为零的解析函数零点必孤立）。 证明：设a为的m级零点，则=()(z) . 其中(z)在||R内解析，且（a）0. 从而(z)在点a连续 . 于是存在邻域||rR使得(z)在其中恒不为零. 故在其中无异于a的零点. 例2：一个实函数的零点不一定是孤立的。 如函数，当x0时=xsin，当x=0时=0. 证明：由题意得，函数在x=0处可微，且以x=0为零点，此外x=也是它的零点，并以0为聚点。 解析函数的无穷可微性在复变函数中，若在区域D内解析