复变函数第1章重点.doc

第一章 复数和复平面 §1.1 复 数 1. 复数的概念 复数或其中a和b为实数，i称为虚单位，即是满足. a与b分别称为复数z的实部和虚部，记作. 2. 复数的向量表示和复平面 根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定；，有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应. 我们说点z(a,b)，与复数表示同一意义. 如果，则.复数还可以用由原点引向点z的向量来表示，这种表示方式建立了复数集C与平面向量所成的集合的一一对应（实数0与零向量对应）.向量的长度称为复数z的模，记为 |z|或r，因此有 显然， 考虑复平面的不为零的点.如图1.3所示，这个点有极坐标显然是正实轴与从原点O到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为的值称为的主幅角，记为显然有实部虚部模幅角. 3. 复数的运算 设复数，则由下式定义： 加法 (1.2) 减法 乘法. (1.4) 除法 (1.5) 复数的模和共轭复数有下面的性质 4. 复数的三角表示和复数的方根 利用极坐标表示，复数z可以表示为 三角形式=r(cos+isin). 指数形式. ，， 设复数从而有 |zn|=|z|n, 其中n为正整数.当r=1时，得棣莫拂(de Moivre)公式 复数的n次方根是复数n次乘幂的逆运算.下面我们介绍复数的n次方根的定义和求法. 设是已知的复数，n为正整数，则称满足方程 的所有的复数为z的n次方根，并且记为 k=0,1,2,…,n-1 (1.16) 若记，则可表示为 kn-1 (1.17) §1.2 复平面点集 我们研究的许多对象解析函数、保角变换等等问题，首先遇到的是定义域和值域的问题，这些都是复平面上的一种点集。在此，我们先介绍平面上的点集. 1. 平面点集的几个概念 (1) 邻域集合 称为z0的邻域，其中 称为z0去心邻域. (2)内点、开集若点集E的点z0，有一个z0的邻域，则称z0为E的一个内点；如果点集E中的点全为内点，则称E为开集. (3)边界点、边界如果点z0的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点，则称z0为E的边界点；集合E所有边界点为E的边界，记. (4)区域如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起来，则称集E为连通集. 连通的开集称为区域. 区域D和它的边界的并集称为闭区域，记为.(5)有界区域如果存在正数M，使得对一切，有 则称E为有界集若区域D有界，则称为有界区域. (6)简单曲线、光滑曲线 设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区间上连续，则由方程组 或由复值函数 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线的参数方程.点和分别称为曲线的起点和终点.如果时，，称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. 的简单曲线称为简单闭曲线.例如圆周 就是简单闭曲线. 如图1.6，用复数表示为 |z|=r. 我们容易证明圆|z|=r将平面分为两个不相交的区域，由不等式|z|r和|z|r所规定，这两个区域以圆周为边界.这个结果是以下约当定理的特例. 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界. 这两个区域，一个是有界的，称为的内部；一个是无界的，称为的外部. 如果曲线在上有和存在、连续，而且不同时为零，则称曲线为光滑曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线. (7)单连通区域设D为复平面上的区域，如果在D内的任意简单曲线的内部均属于D，则称D为单连通区域，否则就称为多连通区域. 扩充复平面及其球面表示 在复平面上没有一点和对应，但是我们可以设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为无穷远点.复平面加上，称为扩充复平面C∞=C∪{∞}.为使的规定合理，我们规定扩充复平面上只有一个无穷远点.为使无穷远点的存在得到直观的解释，我们建立扩充复平面C∞的球面表示法. 1求复数的实部虚部模幅角将表示为指数形式或三角形式 ∴, ． 2.指出下式中点z所确定的平面图形，并作出草图. (1)、argz=π．表示负实轴． (2)、|z-1|=|z|．表示直线z=． (3)、表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。 （4）表示直线y=x的右下半平面 （5）、表示圆盘内的一弓形域。 3．设